Max a Inflexní body distribuce Chi-Square

Matematická statistika používá techniky z různých odvětví matematiky, aby definitivně dokázal, že prohlášení týkající se statistiky jsou pravdivá. Uvidíme, jak pomocí kalkulu stanovit výše uvedené hodnoty obou maximálních hodnot chi-square rozdělení, které odpovídá jeho režimu, stejně jako najít inflexní body rozdělení.

Než to uděláme, probereme obecně rysy maxim a inflexních bodů. Rovněž prozkoumáme metodu výpočtu maxima inflexních bodů.

U diskrétní sady dat je režim nejčastěji se vyskytující hodnotou. Na histogramu dat by to představoval nejvyšší sloupec. Jakmile známe nejvyšší sloupec, podíváme se na hodnotu dat, která odpovídá základně tohoto sloupce. Toto je režim pro naši datovou sadu.

Stejná myšlenka se používá při práci s kontinuální distribucí. Tentokrát pro nalezení režimu hledáme nejvyšší vrchol v distribuci. Pro graf tohoto rozdělení je výška píku hodnotou y. Tato hodnota y se pro náš graf nazývá maximum, protože je větší než kterákoli jiná hodnota y. Režim je hodnota podél vodorovné osy, která odpovídá této maximální hodnotě y.

Přestože se můžeme jednoduše podívat na graf distribuce, abychom našli režim, s touto metodou jsou problémy. Naše přesnost je pouze tak dobrá jako náš graf a pravděpodobně budeme muset odhadnout. Také mohou být potíže s grafováním naší funkce.

Alternativní metoda, která nevyžaduje žádné grafy, je použití kalkulu. Metoda, kterou použijeme, je následující:

1. Začněte s funkcí hustoty pravděpodobnosti F (X) pro naši distribuci.
2. Vypočítejte první a druhý deriváty této funkce: F '(X) a F ''(X)
3. Nastavte první derivaci na nulu F '(X) = 0.
4. Vyřešit pro X.
5. Připojte hodnoty z předchozího kroku do druhého derivátu a vyhodnoťte. Pokud je výsledek záporný, pak máme lokální maximum na hodnotě x.
6. Vyhodnoťte naši funkci f (X) ve všech bodech X z předchozího kroku.
7. Vyhodnoťte funkci hustoty pravděpodobnosti na jakýchkoli koncových bodech její podpory. Pokud má funkce doménu danou uzavřeným intervalem [a, b], pak funkci vyhodnoťte v koncových bodech A a b.
8. Největší hodnotou v krocích 6 a 7 bude absolutní maximum funkce. Hodnota x, kde toto maximum nastane, je režim distribuce.

Nyní projdeme výše uvedené kroky a vypočítáme režim distribuce chi-čtverců pomocí r stupně svobody. Začneme s funkcí hustoty pravděpodobnosti F(X), která je zobrazena na obrázku v tomto článku.

F (X) = K X^{r / 2-1}E^{-x / 2}

Tady K je konstanta, která zahrnuje funkce gama a síla 2. Nepotřebujeme znát specifika (můžeme na ně však odkazovat na vzorec v obrázku).

První derivát této funkce je dán pomocí produktové pravidlo stejně jako řetězové pravidlo:

F '( X ) = K (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}E^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}E^{-x / 2}

Tento derivát jsme nastavili na nulu a na pravou stranu jsme započítali výraz:

0 = K x^{r / 2-1}E^{-x / 2} [(r / 2 - 1)X^-1- 1/2]

Od konstanty K, exponenciální funkce a X^{r / 2-1} jsou nenulové, můžeme těmito výrazy dělit obě strany rovnice. Pak máme:

0 = (r / 2 - 1)X^-1- 1/2

Vynásobte obě strany rovnice 2:

0 = (r - 2)X^-1- 1

1 = (r - 2)X^-1a na závěr máme x = r - 2. Toto je bod podél vodorovné osy, kde se režim nachází. Označuje X hodnota vrcholu naší distribuce chi-kvadrát.

Dalším rysem křivky je způsob, jakým se zakřivuje. Části křivky mohou být konkávní, jako velká písmena U. Křivky mohou být také konkávní a tvarované jako průsečík symbol ∩. Tam, kde se křivka mění z konkávního na konkávní směrem nahoru nebo naopak, máme inflexní bod.

Druhá derivace funkce detekuje konkávnost grafu funkce. Pokud je druhý derivát kladný, křivka je konkávní nahoru. Pokud je druhý derivát záporný, pak je křivka konkávní dolů. Když se druhá derivace rovná nule a graf funkce mění konkávnost, máme inflexní bod.

Za účelem nalezení inflexních bodů grafu:

1. Vypočítejte druhou derivaci naší funkce F ''(X).
2. Nastavte tento druhý derivát na nulu.
3. Vyřešte rovnici z předchozího kroku pro X.

Nyní vidíme, jak pracovat výše uvedenými kroky pro distribuci chi-square. Začneme diferenciací. Z výše uvedené práce jsme viděli, že první derivát pro naši funkci je:

F '(X) = K (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}E^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}E^{-x / 2}

Znovu rozlišujeme pomocí pravidla produktu dvakrát. My máme:

F ''( X ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}E^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}E^{-x / 2} + (K / 4) X^{r / 2-1}E^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}E^{-x / 2}

Nastavili jsme to na nulu a rozdělili obě strany Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}+ (1/ 4) X^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) X^{r / 2-2}

Spojením stejných termínů máme:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}+ (1/ 4) X^{r / 2-1}

Vynásobte obě strany 4X^{3 - r / 2}, to nám dává:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)X+ X^2.

Kvadratický vzorec lze nyní použít k vyřešení X.

X = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Rozšiřujeme podmínky, které jsou brány na 1/2 napájení a vidíme následující:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Tohle znamená tamto:

X = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Z toho vidíme, že existují dva inflexní body. Navíc jsou tyto body symetrické ohledně způsobu distribuce, protože (r - 2) je uprostřed mezi dvěma inflexními body.

Vidíme, jak obě tyto funkce souvisejí s počtem stupňů volnosti. Tyto informace můžeme použít k načrtnutí distribuce chi-square. Můžeme také porovnat tuto distribuci s ostatními, jako je normální distribuce. Vidíme, že inflexní body pro distribuci chi-kvadrát se vyskytují na jiných místech než na inflexní body pro normální rozdělení.