Pravděpodobnost malé rovnice v Yahtzee v jedné roli

Yahtzee je hra s kostkami, která používá pět standardních šestistranných kostek. Na každém kole jsou hráči dáni tři role k získání několika různých cílů. Po každém hodu se hráč může rozhodnout, která z kostek (pokud vůbec) má být ponechána a která musí být znovu prohozena. Cíle zahrnují řadu různých druhů kombinací, z nichž mnohé jsou převzaty z pokeru. Každý jiný druh kombinace stojí za jiný počet bodů.

Jsou volány dva typy kombinací, které musí hráči hodit rovinky: malý rovný a velký rovný. Stejně jako pokerové rovinky se tyto kombinace skládají ze sekvenčních kostek. Malé rovinky používají čtyři z pěti kostek a velké rovinky použijte všech pět kostek. Vzhledem k náhodnosti válcování kostkami lze pravděpodobnost použít k analýze, jak je pravděpodobné, že hodí malou rovnou do jedné role.

Předpokládáme, že použité kostky jsou spravedlivé a nezávislé na sobě. Existuje tedy jednotný vzorkový prostor sestávající ze všech možných rolí pěti kostek. Ačkoli Yahtzee umožňuje tři role, pro jednoduchost vezmeme v úvahu pouze případ, že dostaneme malou přímku do jednoho válce.

Protože pracujeme s a jednotnýukázkový prostor, výpočet naší pravděpodobnosti se stává výpočtem několika problémů s počítáním. Pravděpodobnost malé přímky je počet způsobů, jak hodit malou přímku, děleno počtem výsledků ve vzorku.

Je velmi snadné spočítat počet výsledků ve vzorku. Válíme pět kostek a každá z těchto kostek může mít jeden ze šesti různých výsledků. Základní použití principu multiplikace nám říká, že vzorkovací prostor má 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 výsledků. Toto číslo bude jmenovatelem zlomků, které používáme pro naši pravděpodobnost.

Dále potřebujeme vědět, kolik způsobů je kroutit malou rovnou. To je obtížnější než výpočet velikosti prostoru vzorku. Začneme tím, že spočítáme, kolik rovin je možné.

Malá přímka se snáze hodí než velká přímka, je však obtížnější spočítat počet způsobů válcování tohoto typu přímky. Malá rovina se skládá z přesně čtyř pořadových čísel. Protože existuje šest různých obličejů matrice, existují tři možné malé rovinky: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} a {3, 4, 5, 6}. Obtížnost vyvstává při zvažování toho, co se stane s pátou umírající. V každém z těchto případů musí být pátá matrice číslo, které nevytváří velkou přímku. Například, pokud první čtyři kostky byly 1, 2, 3 a 4, pátá kostka by mohla být něco jiného než 5. Pokud by pátá matrice byla 5, měli bychom spíše velkou přímku než malou přímku.

To znamená, že existuje pět možných rolí, které dávají malé rovné {1, 2, 3, 4}, pět možných role, které dávají malou přímku {3, 4, 5, 6} a čtyři možné role, které dávají malou přímku {2, 3, 4, 5}. Tento poslední případ je jiný, protože válcování 1 nebo 6 pro pátou matrici se změní {2, 3, 4, 5} na velkou přímku. To znamená, že existuje 14 různých způsobů, které nám pět kostek může dát malou přímku.

Nyní určíme různý počet způsobů, jak hodit konkrétní kostkou, která nám dá rovnou. Protože potřebujeme pouze vědět, kolik způsobů, jak toho dosáhnout, můžeme použít některé základní techniky počítání.

Ze 14 různých způsobů, jak získat malé rovinky, jsou pouze dva z těchto {1,2,3,4,6} a {1,3,4,5,6} sady s odlišnými prvky. Je jich 5! = 120 způsobů, jak hodit každý, celkem 2 x 5! = 240 malých rovin.

Dalších 12 způsobů, jak mít malou přímku, jsou technicky multisety, protože všechny obsahují opakující se prvek. U jednoho konkrétního multisetu, jako je [1,1,2,3,4], spočítáme počet různých způsobů, jak to provést. Myslete na kostky jako na pět pozic v řadě:

• Existuje C (5,2) = 10 způsobů, jak umístit dva opakované prvky mezi pět kostek.
• Jsou 3! = 6 způsobů, jak uspořádat tři odlišné prvky.

Podle principu násobení existuje 6 x 10 = 60 různých způsobů, jak hodit kostkami 1,1,2,3,4 do jednoho hodu.

Existuje 60 způsobů, jak hodit jednu tak malou rovnou s touto konkrétní pátou kostkou. Protože existuje 12 multisetů, které dávají odlišný seznam pěti kostek, existuje 60 x 12 = 720 způsobů, jak hodit malou přímku, ve které se shodují dvě kostky.

Celkem je 2 x 5! + 12 x 60 = 960 způsobů, jak hodit malou rovnou.

Nyní je pravděpodobnost převrácení malé roviny jednoduchým výpočtem dělení. Vzhledem k tomu, že existuje 960 různých způsobů, jak hodit malou rovnou do jedné role a existuje 7776 rolí pět kostek je možné, pravděpodobnost házení malé roviny je 960/7776, což je blízko 1/8 a 12.3%.

Je samozřejmě pravděpodobnější, že první role není rovná. Pokud je tomu tak, máme povoleno dvě další role, díky nimž je malá přímka mnohem pravděpodobnější. Pravděpodobnost toho je mnohem komplikovanější určit kvůli všem možným situacím, které by musely být zváženy.