Pracovní list pro Chebyshevovu nerovnost

click fraud protection

Chebyshevova nerovnost říká, že alespoň 1 -1 /K2 údajů ze vzorku musí spadat Kstandardní odchylky z znamenat, kdeK je pozitivní reálné číslo větší než jeden. To znamená, že nemusíme znát formu distribuce našich údajů. Pouze se střední a standardní odchylkou můžeme určit množství dat a určitý počet směrodatných odchylek od střední hodnoty.

Následuje několik problémů, které lze s nerovností praktikovat.

Příklad č. 1

Třída druhého srovnávače má průměrnou výšku 5 stop se standardní odchylkou jeden palec. Alespoň jaké procento ve třídě musí být mezi 4´10 “a 5´2”?

Řešení

Výšky, které jsou uvedeny ve výše uvedeném rozmezí, jsou ve dvou směrodatných odchylkách od střední výšky pěti stop. Chebyshevova nerovnost říká, že alespoň 1 - 1/22 = 3/4 = 75% třídy je v daném výškovém rozsahu.

Příklad č. 2

Bylo zjištěno, že počítače konkrétní společnosti vydrží v průměru tři roky bez jakékoli hardwarové poruchy, se standardní odchylkou dva měsíce. Alespoň jaké procento počítačů trvá mezi 31 měsíci a 41 měsíci?

instagram viewer

Řešení

Průměrná životnost tří let odpovídá 36 měsícům. Časy 31 měsíců až 41 měsíců jsou každý 5/2 = 2,5 standardní odchylky od průměru. Podle Chebyshevovy nerovnosti alespoň 1 - 1 / (2,5) 62 = 84% počítačů vydrží od 31 měsíců do 41 měsíců.

Příklad č. 3

Bakterie v kultuře žijí průměrně tři hodiny se standardní odchylkou 10 minut. Alespoň jaká část bakterií žije mezi dvěma a čtyřmi hodinami?

Řešení

Dvě a čtyři hodiny jsou každou hodinu mimo průměr. Jedna hodina odpovídá šesti směrodatným odchylkám. Takže alespoň 1 - 1/62 = 35/36 = 97% bakterií žije mezi dvěma a čtyřmi hodinami.

Příklad č. 4

Jaký je nejmenší počet směrodatných odchylek od průměru, že musíme jít, pokud chceme zajistit, že máme alespoň 50% dat distribuce?

Řešení

Zde používáme Chebyshevovu nerovnost a pracujeme pozpátku. Chceme 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K2. Cílem je použít algebra k řešení K.

Vidíme, že 1/2 = 1 /K2. Křížte násobte a uvidíte, že 2 =K2. Bereme druhou odmocninu obou stran a od té doby K je řada standardních odchylek, ignorujeme negativní řešení rovnice. To ukazuje, že K se rovná druhé odmocnině dvou. Alespoň 50% údajů je tedy v rozmezí přibližně 1,4 směrodatné odchylky od průměru.

Příklad č. 5

Autobusová trasa # 25 trvá průměrnou dobu 50 minut se standardní odchylkou 2 minuty. Propagační plakát pro tento autobusový systém uvádí, že „95% času autobusové dopravy č. 25 trvá od ____ do _____ minut.“ S jakými čísly byste vyplnili mezery?

Řešení

Tato otázka je podobná té poslední, pro kterou musíme vyřešit K, počet standardních odchylek od střední hodnoty. Začněte nastavením 95% = 0,95 = 1 - 1 /K2. To ukazuje, že 1 - 0,95 = 1 /K2. Zjednodušte, abyste viděli, že 1 / 0,05 = 20 = K2. Tak K = 4.47.

Nyní to vyjádřete výše uvedenými podmínkami. Nejméně 95% všech jízd je 4,47 směrodatných odchylek od průměrné doby 50 minut. Vynásobte 4,47 standardní směrodatnou odchylkou 2, abyste skončili s devíti minutami. Takže 95% času trvá cesta autobusem č. 25 mezi 41 a 59 minutami.

instagram story viewer