Důležitým rysem je rozptyl distribuce náhodné proměnné. Toto číslo označuje šíření distribuce a nachází se na druhou mocninu standardní odchylka. Jeden běžně používaný diskrét rozdělení je to Poissonova distribuce. Uvidíme, jak vypočítat rozptyl Poissonova rozdělení s parametrem λ.
Poissonova distribuce
Poissonovy distribuce se používají, když máme nějaké kontinuum a počítáme diskrétní změny v tomto kontinuu. K tomu dochází, když vezmeme v úvahu počet lidí, kteří dorazí k počítadlu vstupenek na film během jedné hodiny, sledujte počet vozů projíždějících křižovatkou se čtyřcestným zastavením nebo počet chyb vyskytujících se v délce drát.
Pokud v těchto scénářích učiníme několik objasňujících předpokladů, pak tyto situace odpovídají podmínkám Poissonova procesu. Pak říkáme, že náhodná proměnná, která počítá počet změn, má Poissonovo rozdělení.
Poissonova distribuce se ve skutečnosti týká nekonečné rodiny distribucí. Tato rozdělení jsou vybavena jedním parametrem λ. Parametr je kladný reálné číslo
to úzce souvisí s očekávaným počtem změn pozorovaných v kontinuu. Dále uvidíme, že tento parametr se rovná nejen znamenat distribuce, ale také rozptyl distribuce.Funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro Poissonovo rozdělení je dána:
F(X) = (λXE-λ)/X!
V tomto výrazu dopis E je číslo a je matematická konstanta s hodnotou přibližně rovnou 2,718281828. Proměnná X může být jakékoli nezáporné celé číslo.
Výpočet odchylky
Pro výpočet průměru Poissonovy distribuce používáme tuto distribuci funkce generování momentů. Vidíme to:
M( t ) = E [EtX] = Σ EtXF( X) = ΣEtX λXE-λ)/X!
Nyní si vzpomínáme na řadu Maclaurinů Eu. Od jakékoli derivace funkce Eu je Eu, všechny tyto deriváty vyhodnocené na nulu nám dávají 1. Výsledkem je série Eu = Σ un/n!.
Použitím řady Maclaurin pro Eu, funkci generování momentu můžeme vyjádřit nikoli jako řadu, ale v uzavřené podobě. Všechny výrazy kombinujeme s exponentem X. Tím pádem M(t) = Eλ(Et - 1).
Nyní najdeme rozptyl tím, že vezmeme druhou derivaci M a vyhodnotit to na nulu. Od té doby M’(t) =λEtM(t), použijeme produktové pravidlo pro výpočet druhé derivace:
M’’(t)=λ2E2tM’(t) + λEtM(t)
Hodnotíme to na nulu a zjistíme, že M’’(0) = λ2 + λ. Poté použijeme skutečnost M'(0) = λ pro výpočet rozptylu.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
To ukazuje, že parametr λ není pouze průměrem Poissonova rozdělení, ale je také jeho rozptylem.