Hra Yahtzee zahrnuje použití pěti standardních kostek. V každém tahu jsou hráči rozdány tři role. Po každém hodu může být ponechán libovolný počet kostek s cílem získat konkrétní kombinace těchto kostek. Každý jiný druh kombinace stojí za jiný počet bodů.
Jedna z těchto typů kombinací se nazývá full house. Stejně jako celý dům ve hře poker, tato kombinace zahrnuje tři určitého čísla spolu s párem jiného čísla. Protože Yahtzee zahrnuje náhodné házení kostkami, lze tuto hru analyzovat pomocí pravděpodobnosti k určení, jak je pravděpodobné, že hodí celý dům do jediné role.
Předpoklady
Začneme uvedením našich předpokladů. Předpokládáme, že použité kostky jsou spravedlivé a nezávislé na sobě. To znamená, že máme jednotný vzorkový prostor sestávající ze všech možných rolí pěti kostek. Ačkoli hra Yahtzee umožňuje tři role, vezmeme v úvahu pouze případ, že získáme celý dům v jednom kole.
Ukázkový prostor
Protože pracujeme s a jednotnýukázkový prostor, výpočet naší pravděpodobnosti se stává výpočtem několika problémů s počítáním. Pravděpodobnost úplného domu je počet způsobů, jak hodit celý dům, děleno počtem výsledků ve vzorku.
Počet výsledků ve vzorovém prostoru je přímý. Protože existuje pět kostek a každá z těchto kostek může mít jeden ze šesti různých výsledků, počet výsledků ve vzorkovém prostoru je 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Počet úplných domů
Dále vypočítáme počet způsobů, jak hodit celý dům. To je složitější problém. Abychom měli plný dům, potřebujeme tři z jednoho druhu kostek, následované dvojicí různých typů kostek. Tento problém rozdělíme na dvě části:
- Jaký je počet různých typů plných domů, které by mohly být válcovány?
- Jaký je počet způsobů, jak může být konkrétní typ plného domu srolován?
Jakmile budeme znát číslo každého z nich, můžeme je znásobit, abychom získali celkový počet plných domů, které lze válcovat.
Začneme tím, že se podíváme na počet různých typů plných domů, které lze rolovat. Kterákoli z čísel 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6 by mohla být použita pro všechny tři. Zbývá ještě pět čísel pro pár. Existuje tedy 6 x 5 = 30 různých typů kombinací celého domu, které lze válcovat.
Například bychom mohli mít 5, 5, 5, 2, 2 jako jeden typ full house. Jiný typ full house by byl 4, 4, 4, 1, 1. Další by ještě bylo 1, 1, 4, 4, 4, což je jiné než předchozí celý dům, protože role čtyř a těch byly přepnuty.
Nyní určíme různý počet způsobů, jak hodit konkrétní celý dům. Například každý z následujících nám dává stejný plný dům tří čtyř a dvou:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Vidíme, že existuje nejméně pět způsobů, jak postavit konkrétní celý dům. Jsou tu další? I když stále uvedeme další možnosti, jak víme, že jsme všechny našli?
Klíčem k zodpovězení těchto otázek je uvědomit si, že se zabýváme problémem počítání a určit, s jakým typem problému s počítáním pracujeme. Existuje pět pozic a tři z nich musí být obsazeny čtyřkou. Pořadí, ve kterém umístíme naše čtyři, nezáleží, pokud jsou vyplněny přesné pozice. Jakmile je stanovena pozice čtyř, je jejich umístění automatické. Z těchto důvodů musíme zvážit kombinace z pěti pozic zaujímaných po třech.
K získání použijeme kombinovaný vzorec C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. To znamená, že existuje 10 různých způsobů, jak vrátit daný celý dům.
Když to všechno dáme dohromady, máme náš počet plných domů. Existuje 10 x 30 = 300 způsobů, jak získat celý dům v jedné roli.
Pravděpodobnost
Teď pravděpodobnost úplného domu je jednoduchý výpočet dělení. Protože existuje 300 způsobů, jak hodit celý dům do jedné role a je možných 7776 kusů pěti kostek, pravděpodobnost válcování celého domu je 300/7776, což je téměř 1/26 a 3,85%. To je 50krát pravděpodobnější než válení Yahtzee do jedné role.
Samozřejmě je velmi pravděpodobné, že první role není celý dům. Pokud je tomu tak, máme povoleno dvě další role, díky nimž bude celý dům mnohem pravděpodobnější. Pravděpodobnost toho je mnohem komplikovanější určit kvůli všem možným situacím, které by musely být zváženy.