Faktor (!) V matematice a statistice

V matematice symboly, které mají určité významy v anglickém jazyce může znamenat velmi specializované a odlišné věci. Zvažte například následující výraz:

3!

Ne, nepoužili jsme vykřičník abychom ukázali, že jsme nadšeni ze tří a neměli bychom si poslední větu přečíst s důrazem. V matematice výraz 3! je čten jako „třífaktorový“ a je to zkrátka způsob, jak označit násobení několika po sobě jdoucích celých čísel.

Protože v matematice a statistice je mnoho míst, kde je třeba čísla znásobit, je faktoriál docela užitečný. Některá z hlavních míst, kde se ukazuje, jsou kombinatorika a pravděpodobnost počet.

Definice faktoriálu je ta pro jakékoli kladné celé číslo n, faktoriál:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Nejprve se podíváme na několik příkladů faktoriálu s malými hodnotami n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
instagram viewer
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Jak vidíme, faktoriál se velmi rychle zvětší. Něco, co se může zdát malé, například 20! ve skutečnosti má 19 číslic.

Faktory lze snadno spočítat, ale jejich výpočty mohou být poněkud zdlouhavé. Naštěstí mnoho kalkulaček má faktorový klíč (podívejte se na! symbol). Tato funkce kalkulačky automatizuje násobení.

Jednou další hodnotou faktoriálu a hodnotou, pro kterou výše uvedená standardní definice neplatí, je hodnota nulový faktoriál. Pokud budeme postupovat podle vzorce, pak bychom nedosáhli žádné hodnoty pro 0!. Neexistují žádná kladná celá čísla menší než 0. Z několika důvodů je vhodné definovat 0! = 1. Faktoriál této hodnoty se projevuje zejména ve vzorcích pro kombinace a permutace.

Při práci s výpočty je důležité si promyslet, než stiskneme faktoriální klávesu na naší kalkulačce. Pro výpočet výrazu jako 100! / 98! existuje několik různých způsobů, jak toho dosáhnout.

Jedním ze způsobů je použití a kalkulačka najít obě 100! a 98!, pak rozdělte jeden po druhém. I když se jedná o přímý způsob výpočtu, má s ním určité problémy. Některé kalkulačky nedokážou zpracovat výrazy až 100! = 9,33262154 x 10¹⁵⁷. (Výraz 10¹⁵⁷ je vědecká notace, což znamená, že vynásobíme 1 a poté 157 nula.) Nejenže je toto číslo masivní, ale je to také pouze odhad skutečné hodnoty 100!

Další způsob, jak zjednodušit výraz s faktoriály, jako je ten, který zde vidíte, nevyžaduje kalkulačku. Způsob, jak přistupovat k tomuto problému, je rozpoznat, že můžeme přepsat 100! ne jako 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, ale místo toho jako 100 x 99 x 98! Výraz 100! / 98! nyní se stává (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.