Exponenciální funkce vyprávět příběhy o výbušných změnách. Dva typy exponenciálních funkcí jsou exponenciální růst a exponenciální úpadek. V exponenciálních funkcích hrají roli čtyři proměnné (procento změny, čas, částka na začátku časového období a částka na konci časového období). Použijte funkci exponenciálního rozkladu k nalezení částky na začátku časového období.
Exponenciální rozklad
Exponenciální úpadek je změna, ke které dochází, když je původní částka po určité časové období snížena jednotnou sazbou.
Zde je exponenciální funkce rozkladu:
y = A(1-b)X
- y: Konečná částka zbývající po úpadku po určitou dobu
- A: Původní částka
- X: Čas
- Faktor úpadku je (1-b)
- Proměnná b je procento snížení v desítkové podobě.
Účel nalezení původní částky
Pokud čtete tento článek, pak jste pravděpodobně ambiciózní. Za šest let možná budete chtít pronásledovat bakalářský titul na Dream University. S cenovkou 120 000 dolarů evokuje Dream University finanční noční hrůzy. Po bezesných nocích se ty, mami a táta potkáte s finančním plánovačem. Když plánovač odhalí, že investice s osmi procentním tempem růstu může pomoci vaší rodině dosáhnout cíle 120 000 dolarů, oči očistné krve vašich rodičů se vyjasní. Studovat tvrdě. Pokud dnes vy a vaši rodiče investujete 75 620,36 $, stane se Dream University vaší realitou díky exponenciálnímu úpadku.
Jak vyřešit
Tato funkce popisuje exponenciální růst investice:
120,000 = A(1 +.08)6
- 120 000: Konečná částka zbývající po 6 letech
- .08: Roční míra růstu
- 6: Počet let, po které se investice zvýší
- A: Počáteční částka, kterou vaše rodina investovala
Díky symetrické vlastnosti rovnosti 120 000 = A(1 +.08)6 je stejné jako A(1 +.08)6 = 120,000. Symetrická vlastnost rovnosti uvádí, že pokud 10 + 5 = 15, pak 15 = 10 + 5.
Pokud chcete přepsat rovnici konstantou (120 000) na pravé straně rovnice, udělejte to.
A(1 +.08)6 = 120,000
Je pravda, že rovnice nevypadá jako lineární rovnice (6A = 120 000 $), ale je řešitelný. Držte se ho!
A(1 +.08)6 = 120,000
Tuto exponenciální rovnici neřešte dělením 120 000 na 6. Je to lákavá matematika ne-ne.
1. Ke zjednodušení použijte pořadí operací
A(1 +.08)6 = 120,000
A(1.08)6 = 120 000 (závorka)
A(1,586874323) = 120 000 (exponent)
2. Vyřešte dělení
A(1.586874323) = 120,000
A(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1A = 75,620.35523
A = 75,620.35523
Původní částka k investování je přibližně 75 620,36 USD.
3. Zmrazit: Ještě jsi neskončil; odpověď zkontrolujte pomocí pořadí operací
120,000 = A(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Závorka)
120 000 = 75 620 355523 (1,586874323) (součást)
120 000 = 120 000 (násobení)
Odpovědi a vysvětlení k otázkám
Woodforest, Texas, předměstí Houstonu, je odhodlán uzavřít digitální propast ve své komunitě. Před několika lety komunitní vůdci zjistili, že jejich občané jsou počítačově negramotní. Neměli přístup k internetu Internet a byli mimo informační dálnici. Vůdci založili World Wide Web on Wheels, soubor mobilních počítačových stanic.
World Wide Web on Wheels dosáhl svého cíle, kdy v Woodforestu bylo jen 100 počítačově negramotných občanů. Komunitní vůdci studovali měsíční vývoj World Wide Web na kolech. Podle údajů lze pokles počtu počítačově negramotných popsat pomocí následující funkce:
100 = A(1 - .12)10
1. Kolik lidí je počítač negramotných 10 měsíců po založení World Wide Web on Wheels?
- 100 lidí
Porovnejte tuto funkci s původní funkcí exponenciálního růstu:
100 = A(1 - .12)10
y = A(1 + b)X
proměnnáy představuje počet počítačově negramotných lidí na konci 10 měsíců, takže 100 lidí je počítačově negramotných i poté, co v komunitě začal fungovat web na kolech.
2. Představuje tato funkce exponenciální rozklad nebo exponenciální růst?
- Tato funkce představuje exponenciální úpadek, protože před procentuální změnou je záporné znaménko (.12).
3. Jaká je měsíční míra změny?
- 12 procent
4. Kolik lidí bylo počítačově negramotných před 10 měsíci na začátku World Wide Web on Wheels?
- 359 lidí
Použitípořadí operací zjednodušit.
100 = A(1 - .12)10
100 = A(.88)10 (Závorka)
100 = A(.278500976) (exponent)
Rozdělte to na vyřešení.
100(.278500976) = A(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1A
359.0651689 = A
Pro ověření odpovědi použijte pořadí operací.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Závorka)
100 = 359,0651689 (0,278500976) (složka)
100 = 100 (násobit)
5. Pokud budou tyto trendy pokračovat, kolik lidí bude počítač negramotných 15 měsíců po založení World Wide Web on Wheels?
- 52 lidí
Přidejte, co víte o funkci.
y = 359.0651689(1 - .12) X
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Vyhledejte pomocí Pořadí operací y.
y = 359.0651689(.88)15 (Závorka)
y = 359,0651689 (0,146973854) (exponent)
y = 52,77319167 (násobení).