Pravděpodobnost převrácení Yahtzee

Yahtzee je hra s kostkami zahrnující kombinaci náhody a strategie. Hráč začíná svůj tah házením pěti kostkami. Po tomto hodu se hráč může rozhodnout znovu hodit libovolným počtem kostek. V každém tahu jsou maximálně tři role. Po těchto třech rolích je výsledek kostek zapsán do výsledkového listu. Tento výsledkový list obsahuje různé kategorie, například a plný dům nebo velký rovný. Každá z kategorií je spokojena s různými kombinacemi kostek.

Nejobtížnější kategorií pro vyplnění je kategorie Yahtzee. Yahtzee nastane, když hráč hodí pět stejných čísel. Jak nepravděpodobné je Yahtzee? To je problém, který je mnohem komplikovanější než nalezení pravděpodobnosti dva nebo dokonce tři kostky. Hlavním důvodem je to, že existuje mnoho způsobů, jak získat pět shodných kostek během tří rolí.

Pravděpodobnost výpočtu Yahtzee můžeme spočítat pomocí kombinatorického vzorce pro kombinace a rozdělením problému na několik vzájemně se vylučující případy.

Nejjednodušší případ, který je třeba zvážit, je získání Yahtzee okamžitě na první roli. Nejprve se podíváme na

Pravděpodobnost válcování dvou je 1/6 a výsledek každé formy je nezávislý na zbytku. Pravděpodobnost válcování pěti dvojic je tedy (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Pravděpodobnost hodit pět jakéhokoli jiného čísla je také 1/7776. Protože na matrici je celkem šest různých čísel, vynásobíme výše uvedenou pravděpodobnost 6.

To znamená, že pravděpodobnost Yahtzee na prvním válci je 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 procenta.

Pokud hodíme něčím jiným, než pěti, tak nějakým prvním hodem, budeme muset znovu hodit některé z našich kostek, abychom se pokusili získat Yahtzee. Předpokládejme, že naše první role má čtyři svého druhu. znovu bychom hodili tu zemřít, která se neshoduje, a pak dostat Yahtzee na druhé kolo.

Pravděpodobnost, že se tímto způsobem hodí celkem pět dvojic, je následující:

1. V prvním kole máme čtyři dvojče. Protože existuje pravděpodobnost 1/6 válcování dvou a 5/6 válcování dvou, vynásobíme (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Kterýkoli z pěti kostky se valily mohou být ti dva. Používáme náš kombinovaný vzorec pro C (5, 1) = 5, abychom spočítali, kolik způsobů můžeme převrátit čtyři dvojče a něco, co není dvě.
3. Násobíme a vidíme, že pravděpodobnost válcování přesně čtyř dvojic na první roli je 25/7776.
4. Na druhém kole musíme spočítat pravděpodobnost válcování jednoho dva. To je 1/6. Pravděpodobnost převinutí Yahtzee dvojic výše uvedeným způsobem je (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Chcete-li zjistit pravděpodobnost převrácení jakéhokoli Yahtzee tímto způsobem, je nalezeno vynásobením výše uvedené pravděpodobnosti 6, protože na matrici je šest různých čísel. To dává pravděpodobnost 6 x 25/46656 = 0,32 procenta.

Ale to není jediný způsob, jak hodit Yahtzee dvěma rolemi. Všechny následující pravděpodobnosti se vyskytují téměř stejným způsobem jako výše:

• Mohli bychom hodit tři druhu a pak dvě kostky, které odpovídají našemu druhému hodu. Pravděpodobnost toho je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 procenta.
• Mohli bychom hodit odpovídající pár a na našem druhém hodu tři kostky, které odpovídají. Pravděpodobnost toho je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 procenta.
• Mohli bychom hodit pěti různými kostkami, zachránit jednu kostku z našeho prvního hodu a pak hodit čtyři kostky, které odpovídají druhému hodu. Pravděpodobnost toho je (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 procenta.

Výše uvedené případy se vzájemně vylučují. To znamená, že pro výpočet pravděpodobnosti rozložení Yahtzee ve dvou rolích přidáme výše uvedené pravděpodobnosti dohromady a máme přibližně 1,23 procenta.

Pro dosud nejsložitější situaci prozkoumáme případ, kdy použijeme všechny tři naše role k získání Yahtzee. Mohli bychom to udělat několika způsoby a za všechny je musíme zodpovědět.

Pravděpodobnost těchto možností je vypočtena níže:

• Pravděpodobnost válcování čtyř druhů, pak nic, pak přizpůsobení poslední matrice na posledním válci je 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 procent.
• Pravděpodobnost válcování tří druhů, pak nic, pak shoda se správným párem na posledním kole je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (25/36) x (1/36) = 0,37 procenta.
• Pravděpodobnost válcování párů, pak nic, pak shoda se správnými třemi druhy na třetím válci, je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 procenta.
• Pravděpodobnost válcování jedné matrice, pak nic, co by se shodovalo s tímto, pak shoda se správnými čtyřmi druhy na třetím válci je (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 procenta.
• Pravděpodobnost, že se hodí na další tři, hodí se další forma, následuje přizpůsobení páté matrice na třetím válci je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 procent.
• Pravděpodobnost válcování páru, přiřazení dalšího páru na další roli, následování shody pátá matrice na třetím válci je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3,2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 procent.
• Pravděpodobnost válcování páru, přizpůsobení další zápustce na dalším válci, následování shody poslední dvě kostky na třetím válci jsou 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3,1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 procenta.
• Pravděpodobnost válcování jednoho druhu, jiného zemřít tak, aby se shodovala s druhým válcem, a pak tří druhů se třetím válcem je (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 procenta.
• Pravděpodobnost válcování jednoho druhu, tří druhů, které odpovídají druhému válci, následované shodou na třetím válci, je (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 procenta.
• Pravděpodobnost válcování jednoho druhu, dvojice, aby se shodovala s druhým válcem, a pak další dvojice, aby se shodovala s třetím válcem, je (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 procenta.

Sčítáme všechny výše uvedené pravděpodobnosti dohromady, abychom určili pravděpodobnost hodení Yahtzee ve třech rolích kostek. Tato pravděpodobnost je 3,43 procenta.

Pravděpodobnost Yahtzee v jednom válci je 0,08 procenta, pravděpodobnost Yahtzee ve dvou rolích je 1,23 procenta a pravděpodobnost Yahtzee ve třech rolích je 3,43 procenta. Protože každý z nich se vzájemně vylučují, přidáváme pravděpodobnosti dohromady. To znamená, že pravděpodobnost získání Yahtzee v daném tahu je přibližně 4,74 procenta. Abychom to uvedli do perspektivy, protože 1/21 je přibližně 4,74 procenta, hráč by měl náhodou očekávat Yahtzee jednou za 21 otočení. V praxi to může trvat déle, protože počáteční pár může být vyřazen, aby se hnal za něco jiného, ​​jako je rovný.