Co je to Petrohradský paradox?

Jste na ulicích Petrohradu v Rusku a starý muž navrhuje následující hru. Hodí mincí (a půjčí si jeden z vašich, pokud nevěříte, že jeho je spravedlivý). Pokud přistane ocasy, prohrajete a hra končí. Pokud mince vyletí nahoru, vyhrajete jeden rubl a hra pokračuje. Mince se znovu hodí. Pokud se jedná o ocasy, pak hra končí. Pokud je to hlava, pak vyhrajete další dvě rublů. Hra pokračuje tímto způsobem. Pro každou následující hlavu zdvojnásobíme naše výhry z předchozího kola, ale na znamení prvního ocasu je hra hotová.

Kolik byste za tuto hru zaplatili? Když vezmeme v úvahu očekávaná hodnota této hry, měli byste skočit na šanci, bez ohledu na to, co stojí za to hrát. Z výše uvedeného popisu však pravděpodobně nebudete ochotni zaplatit mnoho. Koneckonců, existuje 50% pravděpodobnost, že nic nevyhrajete. Toto je známé jako St. Petersburgský paradox, pojmenovaný kvůli publikaci Daniela Bernoulliho z roku 1738 Komentáře císařské akademie věd v Petrohradě.

Začněme výpočtem

• Pravděpodobnost dvou hlav v řadě je (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Pravděpodobnost tří hlav v řadě je (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Vyjádřit pravděpodobnost n hlavy v řadě, kde n je kladné celé číslo, které používáme exponenty pro psaní 1/2ⁿ.

Nyní pojďme a uvidíme, jestli můžeme zobecnit, jaké by byly výhry v každém kole.

• Pokud máte v prvním kole hlavu, vyhrajete za toto kolo jeden rubl.
• Pokud je ve druhém kole hlava, vyhrajete v tomto kole dva rubly.
• Pokud je ve třetím kole hlava, vyhrajete v tomto kole čtyři rublů.
• Pokud jste měli to štěstí, že jste se dostali až na n^tis kolo, pak vyhrajete 2^n-1 rublů v tomto kole.

Očekávaná hodnota hry nám říká, jaké by byly průměrné výhry, kdybyste hru hráli mnohokrát. Pro výpočet očekávané hodnoty vynásobíme hodnotu výher z každého kola pravděpodobností, že se do tohoto kola dostaneme, a pak všechny tyto produkty sčítáme.

• Od prvního kola máte pravděpodobnost 1/2 a výhry 1 rubl: 1/2 x 1 = 1/2
• Od druhého kola máte pravděpodobnost 1/4 a výhry 2 rublů: 1/4 x 2 = 1/2
• Od prvního kola máte pravděpodobnost 1/8 a výhry 4 rublů: 1/8 x 4 = 1/2
• Od prvního kola máte pravděpodobnost 1/16 a výhry 8 rublů: 1/16 x 8 = 1/2
• Od prvního kola máte pravděpodobnost 1/2ⁿ a výhry 2^n-1 rublů: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Hodnota z každého kola je 1/2 a výsledky se sčítají od prvního n kola dohromady nám poskytují očekávanou hodnotu n/ 2 rublů. Od té doby n může být libovolné kladné celé číslo, očekávaná hodnota je neomezená.

Co byste tedy měli platit za hraní? Rubl, tisíc rublů nebo dokonce a miliarda rublů by z dlouhodobého hlediska bylo vše nižší než očekávaná hodnota. I přes výše uvedený výpočet slibné nevýslovné bohatství bychom se všichni stále zdráhali platit hodně za hraní.

Existuje mnoho způsobů, jak vyřešit paradox. Jedním z jednodušších způsobů je to, že nikdo nenabízí hru, jako je ta popsaná výše. Nikdo nemá nekonečné zdroje, které by bylo třeba zaplatit někomu, kdo pokračoval v převracení hlav.

Dalším způsobem, jak vyřešit paradox, je poukázat na to, jak nepravděpodobné je získat něco jako 20 hlav za sebou. šance tohoto dění jsou lepší než získání většiny státu loterie. Lidé běžně hrají takové loterie za pět nebo méně dolarů. Cena za hru St. Petersburg by tedy pravděpodobně neměla překročit pár dolarů.

Pokud se muž v Petrohrad říká, že to bude stát něco víc než několik rublů hrát jeho hru, měli byste zdvořile odmítnout a odejít. Rublů za to stejně nestojí.