Řešení rovnic: Exponenciální růst

Exponenciální funkce vyprávějí příběhy o výbušných změnách. Dva typy exponenciálních funkcí jsou exponenciální růst a exponenciální rozpad. Čtyři proměnné - procentní změna, čas, částka na začátku časového období a částka na konci časového období - hrají roli v exponenciálních funkcích. Tento článek se zaměřuje na to, jak pomocí slovních problémů najít částku na začátku časového období, A.

Exponenciální růst: změna, ke které dochází, když se původní částka v průběhu časového období zvyšuje rovnoměrným tempem

Použití exponenciálního růstu v reálném životě:

• Hodnoty cen domů
• Hodnoty investic
• Zvýšené členství v populárním webu sociálních sítí

Zde je exponenciální funkce růstu:

y = A(1 + b)^X

• y: Konečná částka zbývající po určitou dobu
• A: Původní částka
• X: Čas
• růstový faktor je (1 + b).
• Proměnná, b, je procentuální změna v desítkové podobě.

Pokud čtete tento článek, pak jste pravděpodobně ambiciózní. Za šest let možná budete chtít studovat vysokoškolské vzdělání na Dream University. S cenovkou 120 000 dolarů evokuje Dream University finanční noční hrůzy. Po bezesných nocích se ty, mami a táta potkáte s finančním plánovačem. Krvavé oči vašich rodičů se vyjasní, když plánovač odhalí investici s růstem 8%, která pomůže vaší rodině dosáhnout cíle 120 000 dolarů. Studovat tvrdě. Pokud dnes vy a vaši rodiče investujete 75 620,36 $, stane se Dream University vaší realitou.

Tato funkce popisuje exponenciální růst investice:

120,000 = A(1 +.08)⁶

• 120 000: Konečná částka zbývající po 6 letech
• .08: Roční míra růstu
• 6: Počet let, po které se investice zvýší
• a: Počáteční částka, kterou vaše rodina investovala

Náznak: Díky symetrické vlastnosti rovnosti 120 000 = A(1 +.08)⁶ je stejné jako A(1 +.08)⁶ = 120,000. (Symetrická vlastnost rovnosti: Pokud 10 + 5 = 15, pak 15 = 10 +5.)

Pokud chcete přepsat rovnici konstantou 120 000, napravo od této rovnice, udělejte to.

A(1 +.08)⁶ = 120,000

Je pravda, že rovnice nevypadá jako lineární rovnice (6A = 120 000 $), ale je řešitelný. Držte se ho!

A(1 +.08)⁶ = 120,000

Buďte opatrní: Neřešte tuto exponenciální rovnici vydělením 120 000 6. Je to lákavá matematika ne-ne.

1. Použití Pořadí operací zjednodušit.

A(1 +.08)⁶ = 120,000
A(1.08)⁶ = 120 000 (závorka)
A(1,586874323) = 120 000 (exponent)

2. Vyřešte dělením

A(1.586874323) = 120,000
A(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1A = 75,620.35523
A = 75,620.35523

Původní částka k investování je přibližně 75 620,36 USD.

3. Zmrazit - ještě jste neskončili. Pro ověření odpovědi použijte pořadí operací.

120,000 = A(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Závorka)
120 000 = 75 620 355523 (1,586874323) (součást)
120 000 = 120 000 (násobení)

Originální list

Farmář a přátelé
K zodpovězení otázek 1-5 použijte informace o farmářově stránce sociálních sítí.

Zemědělec založil web sociálních sítí, farmářandfriends.org, který sdílí tipy na zahrádku. Když farmářandfriends.org umožnil členům zveřejňovat fotografie a videa, členství na webu rostlo exponenciálně. Zde je funkce, která popisuje tento exponenciální růst.

120,000 = A(1 + .40)⁶

1. Kolik lidí patří k farmmerandfriends.org 6 měsíců po aktivaci sdílení fotografií a sdílení videa? 120 000 lidí
   Porovnejte tuto funkci s původní funkcí exponenciálního růstu:
   120,000 = A(1 + .40)⁶
   y = A(1 +b)^X
   Původní částka, y, je 120 000 v této funkci o sociálních sítích.
2. Představuje tato funkce exponenciální růst nebo rozklad? Tato funkce představuje exponenciální růst ze dvou důvodů. Důvod 1: Informační odstavec ukazuje, že „členství na webu rostlo exponenciálně.“ Důvod 2: Pozitivní znamení je těsně předtím b, měsíční procentuální změna.
3. Co je měsíční procentuální zvýšení nebo snížení? Měsíční procentní nárůst je 40%, 0,40 psáno jako procento.
4. Kolik členů patřilo do farmmerandfriends.org před 6 měsíci, těsně před představením sdílení fotografií a sdílení videa? Asi 15 937 členů
   Ke zjednodušení použijte pořadí operací.
   120,000 = A(1.40)⁶
   120,000 = A(7.529536)
   Rozdělte to na vyřešení.
   120,000/7.529536 = A(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1A
   15,937.23704 = A
   Odpověď zkontrolujte pomocí příkazu Order of Operations.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Pokud budou tyto trendy pokračovat, kolik členů bude patřit na web 12 měsíců po zavedení sdílení fotografií a sdílení videa? Asi 903 544 členů
   Připojte, co víte o této funkci. Pamatujte, tentokrát to máte A, původní částka. Řešíte to y, částka zbývající na konci časového období.
   y = A(1 + .40)^X
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Vyhledejte pomocí Pořadí operací y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203