Co je záporné binomické rozdělení?

Záporné binomické rozdělení je a rozdělení pravděpodobnosti který se používá s diskrétními náhodnými proměnnými. Tento typ distribuce se týká počtu pokusů, které musí proběhnout, aby bylo dosaženo předem stanoveného počtu úspěchů. Jak uvidíme, záporné binomické rozdělení souvisí s binomické rozdělení. Navíc toto rozdělení zobecňuje geometrické rozdělení.

Začneme tím, že se podíváme na nastavení a podmínky, které vedou k negativnímu binomickému rozdělení. Mnoho z těchto podmínek je velmi podobné binomickému nastavení.

1. Máme Bernoulliho experiment. To znamená, že každá zkouška, kterou provádíme, má dobře definovaný úspěch a neúspěch a že to jsou jediné výsledky.
2. Pravděpodobnost úspěchu je konstantní bez ohledu na to, kolikrát experiment provádíme. Tuto konstantní pravděpodobnost označujeme a str.
3. Experiment se opakuje X nezávislé studie, což znamená, že výsledek jedné studie nemá žádný vliv na výsledek následné studie.

Tyto tři podmínky jsou totožné s podmínkami v binomickém rozdělení. Rozdíl je v tom, že binomická náhodná proměnná má pevný počet pokusů

Negativní binomické rozdělení se týká počtu pokusů X k tomu musí dojít, dokud nebudeme r úspěchy. Číslo r je celé číslo, které si vybereme, než začneme provádět naše zkoušky. Náhodná proměnná X je stále diskrétní. Nyní však může náhodná proměnná převzít hodnoty X = r, r + 1, r + 2,... Tato náhodná proměnná je nespočetně nekonečná, protože může trvat libovolně dlouho, než získáme r úspěchy.

Pro pochopení negativního binomického rozložení je vhodné zvážit příklad. Předpokládejme, že hodíme spravedlivou minci a položíme otázku: „Jaká je pravděpodobnost, že dostaneme tři hlavy v první X mince se převrátí? “To je situace, která vyžaduje negativní binomické rozdělení.

Mince mívají dvě možné výsledky, pravděpodobnost úspěchu je konstantní 1/2 a zkoušky, které jsou na sobě nezávislé. Žádáme o pravděpodobnost získání prvních tří hlav poté X mince se převrátí. Musíme tedy minci minout mincí. Pokračujeme v převracení, dokud se neobjeví třetí hlava.

K výpočtu pravděpodobností spojených s negativním binomickým rozdělením potřebujeme další informace. Potřebujeme znát funkci hromadné pravděpodobnosti.

Funkci pravděpodobnosti hmoty pro negativní binomické rozdělení lze vyvinout s trochou myšlenky. Každá zkouška má pravděpodobnost úspěchu daná str. Protože existují pouze dva možné výsledky, znamená to, že pravděpodobnost selhání je konstantní (1 - str ).

rTento úspěch musí nastat Xa závěrečná zkouška. Předchozí X - 1 pokusy musí obsahovat přesně r - 1 úspěchy. Počet způsobů, jak k tomu může dojít, je dán počtem kombinací:

C(X - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Kromě toho máme nezávislé události, a tak můžeme znásobit naše pravděpodobnosti společně. Když to všechno dáme dohromady, dostaneme funkci pravděpodobnostní hmotnosti

F(X) = C (X - 1, r -1) str^r(1 - str)^{X - r}.

Nyní jsme schopni pochopit, proč má tato náhodná proměnná negativní binomické rozdělení. Počet kombinací, které jsme se setkali výše, lze zapsat odlišně nastavením x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. (- r - (k + 1) / k !.

Zde vidíme výskyt záporného binomického koeficientu, který se používá, když zvýšíme binomický výraz (a + b) na zápornou moc.

Průměr distribuce je důležité vědět, protože je to jeden způsob, jak označit střed distribuce. Průměr tohoto typu náhodné proměnné je dán jeho očekávanou hodnotou a je roven r / str. Můžeme to dokázat pečlivě pomocí funkce generování momentů pro tuto distribuci.

Intuice nás také vede k tomuto výrazu. Předpokládejme, že provádíme řadu pokusů n₁ dokud nedostaneme r úspěchy. A pak to uděláme znovu, ale tentokrát to trvá n₂ zkoušky. Pokračujeme v tom znovu a znovu, dokud nebudeme mít velké množství skupin pokusů N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Každý z těchto k zkoušky obsahují r úspěchy, a tak máme celkem kr úspěchy. Li N je velký, pak bychom očekávali, že uvidíme Np úspěchy. Proto je spojujeme dohromady a máme kr = Np.

Děláme nějakou algebru a zjistíme, že N / k = r / p. Zlomek na levé straně této rovnice je průměrný počet pokusů požadovaných pro každou z našich k skupiny pokusů. Jinými slovy, jedná se o očekávaný počet opakování experimentu, takže máme celkem r úspěchy. To je přesně očekávání, které chceme najít. Vidíme, že se to rovná vzorci r / p.

Rozptyl záporného binomického rozdělení lze také vypočítat pomocí funkce generování momentu. Když to uděláme, vidíme, že rozptyl tohoto rozdělení je dán následujícím vzorcem:

r (1 - str)/str²

Funkce generování momentů pro tento typ náhodných proměnných je poměrně komplikovaná. Připomeňme, že funkce generování momentu je definována jako očekávaná hodnota E [e^tX]. Použitím této definice s naší funkcí hromadné pravděpodobnosti máme:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!]E^tXstr^r(1 - str)^{X - r}

Po nějaké algebře se to stane M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Viděli jsme výše, jak je negativní binomické rozdělení v mnoha ohledech podobné binomickému rozdělení. Kromě tohoto spojení je negativní binomické rozdělení obecnější verzí geometrického rozdělení.

Geometrická náhodná proměnná X počítá počet pokusů nezbytných před prvním úspěchem. Je snadné vidět, že toto je přesně negativní binomické rozdělení, ale s r rovná jedné.

Existují i ​​jiné formulace negativní binomické distribuce. Některé učebnice definují X počet pokusů do roku 2007 r dojde k selhání.

Podíváme se na příklad problému, abychom zjistili, jak pracovat s negativním binomickým rozdělením. Předpokládejme, že basketbalový hráč je 80% střílečka s volným hodem. Dále předpokládejme, že udělení jednoho trestného hodu je nezávislé na tom, jak udělat další. Jaká je pravděpodobnost, že pro tohoto hráče bude osmý koš vyroben na desátém trestném hodu?

Vidíme, že máme nastavení pro negativní binomické rozdělení. Konstantní pravděpodobnost úspěchu je 0,8, takže pravděpodobnost selhání je 0,2. Chceme určit pravděpodobnost X = 10, když r = 8.

Tyto hodnoty vkládáme do naší funkce hromadné pravděpodobnosti:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², což je přibližně 24%.

Pak bychom se mohli zeptat, jaký je průměrný počet bezplatných hodů, než tento hráč vydělá osm. Protože očekávaná hodnota je 8 / 0,8 = 10, jedná se o počet výstřelů.