Řešení pro náročné problémy s počítáním

Počítání se může zdát jako snadný úkol. Jak jdeme hlouběji do oblasti matematika známý jako kombinatorika, uvědomujeme si, že narazíme na několik velkých čísel. Od roku faktoriální objeví se tak často, a číslo jako 10! je větší než tři milión, pokud se pokusíme vyjmenovat všechny možnosti, problémy s počítáním se mohou komplikovat velmi rychle.

Někdy, když vezmeme v úvahu všechny možnosti, které naše problémy s počítáním mohou mít, je snazší přemýšlet prostřednictvím základních principů problému. Tato strategie může zabrat mnohem méně času, než vyzkoušet brutální sílu kombinace nebo permutace.

Otázka „Kolik způsobů je možné udělat?“ je úplně jiná otázka než „Jaké jsou způsoby že se něco dá udělat? “Tento nápad uvidíme v práci v následující sadě náročných počítání problémy.

Následující sada otázek zahrnuje slovo TRIANGLE. Všimněte si, že existuje celkem osm písmen. Nechť je zřejmé, že samohlásky slova TRIANGLE jsou AEI a souhlásky slova TRIANGLE jsou LGNRT. Pro skutečnou výzvu, před čtením další podívejte se na verzi těchto problémů bez řešení.

1. Kolik způsobů lze uspořádat písmena slova TRIANGLE?
   Řešení: Zde je celkem osm možností pro první dopis, sedm za druhé, šest za třetí atd. Na základě principu násobení vynásobíme celkem 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 různých způsobů.
2. Kolik způsobů lze uspořádat písmena slova TRIANGLE, pokud první tři písmena musí být RAN (v tomto přesném pořadí)?
   Řešení: První tři písmena pro nás byla vybrána, takže nám zůstalo pět písmen. Po RAN máme pět možností pro další dopis následovaný čtyřmi, pak třemi, pak dvěma a jedním. Podle principu násobení existuje 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 způsobů, jak uspořádat písmena určitým způsobem.
3. Kolik způsobů lze uspořádat písmena slova TRIANGLE, pokud první tři písmena musí být RAN (v libovolném pořadí)?
   Řešení: Podívejte se na to jako na dva nezávislé úkoly: první aranžování písmen RAN a druhé aranžování dalších pěti písmen. Jsou 3! = 6 způsobů, jak zařídit RAN a 5! Způsoby, jak uspořádat zbývajících pět písmen. Celkem tedy existují 3! x 5! = 720 způsobů, jak uspořádat písmena TRIANGLE, jak je uvedeno.
4. Kolik způsobů lze uspořádat písmena slova TRIANGLE, pokud první tři písmena musí být RAN (v libovolném pořadí) a poslední písmeno musí být samohláska?
   Řešení: Podívejte se na to jako na tři úkoly: první uspořádání písmen RAN, druhé výběr jedné samohlásky z I a E a třetí uspořádání dalších čtyř písmen. Jsou 3! = 6 způsobů, jak uspořádat RAN, 2 způsoby, jak vybrat samohlásku ze zbývajících písmen a 4! Způsoby, jak zařídit další čtyři písmena. Celkem tedy existují 3! X 2 x 4! = 288 způsobů, jak uspořádat písmena TRIANGLE, jak je uvedeno.
5. Kolik způsobů lze uspořádat písmena slova TRIANGLE, pokud první tři písmena musí být RAN (v libovolném pořadí) a další tři písmena musí být TRI (v libovolném pořadí)?
   Řešení: Opět máme tři úkoly: první uspořádání písmen RAN, druhé uspořádání písmen TRI a třetí uspořádání dalších dvou písmen. Jsou 3! = 6 způsobů, jak zařídit RAN, 3! způsoby, jak zařídit TRI a dva způsoby, jak zařídit ostatní písmena. Celkem tedy existují 3! x 3! X 2 = 72 způsobů, jak uspořádat písmena TRIANGLE, jak je uvedeno.
6. Kolik různých způsobů lze uspořádat písmena slova TRIANGLE, pokud nelze změnit pořadí a umístění samohlásek IAE?
   Řešení: Tři samohlásky musí být drženy ve stejném pořadí. Nyní je k dispozici celkem pět souhlásek. To lze provést v 5! = 120 způsobů.
7. Kolik různých způsobů lze uspořádat písmena slova TRIANGLE, pokud pořadí samohlásek IAE nelze jejich umístění může být (IAETRNGL a TRIANGEL jsou přijatelné, ale EIATRNGL a TRIENGLA jsou ne)?
   Řešení: To je nejlepší myšlenka ve dvou krocích. Prvním krokem je vybrat místa, která samohlásky jdou. Zde vybíráme tři místa z osmi a pořadí, ve kterém to děláme, není důležité. Jedná se o kombinaci a je jich celkem C(8,3) = 56 způsobů provedení tohoto kroku. Zbývajících pět písmen může být uspořádáno do 5! = 120 způsobů. Tím se získá celkem 56 x 120 = 6720 uspořádání.
8. Kolik různých způsobů lze uspořádat písmena slova TRIANGLE, pokud lze změnit pořadí samohlásek IAE, i když jejich umístění nemusí?
   Řešení: To je opravdu to samé jako výše uvedené číslo 4, ale s různými písmeny. Uspořádáme tři písmena ve 3! = 6 způsobů a dalších pět písmen v 5! = 120 způsobů. Celkový počet způsobů pro toto uspořádání je 6 x 120 = 720.
9. Kolik různých způsobů lze uspořádat šest písmen slova TRIANGLE?
   Řešení: Protože mluvíme o uspořádání, jedná se o permutaci a je jich celkem P( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 způsobů.
10. Kolik různých způsobů lze uspořádat šest písmen slova TRIANGLE, pokud musí existovat stejný počet samohlásek a souhlásek?
    Řešení: Existuje jen jeden způsob, jak vybrat samohlásky, které se chystáme umístit. Výběr souhlásek lze provést v C(5, 3) = 10 způsobů. K dispozici je pak 6! způsoby, jak uspořádat šest písmen. Vynásobte tato čísla společně za výsledek 7200.
11. Kolik různých způsobů lze uspořádat šest písmen slova TRIANGLE, pokud musí existovat alespoň jedna souhláska?
    Řešení: Každé uspořádání šesti písmen splňuje podmínky, takže existují P(8, 6) = 20 160 cest.
12. Kolik různých způsobů lze uspořádat šest písmen slova TRIANGLE, pokud se samohlásky musí střídat s souhláskami?
    Řešení: Existují dvě možnosti, první písmeno je samohláska nebo první písmeno je souhláska. Pokud je první písmeno samohláska, máme tři možnosti, následované pěti pro souhlásku, dvěma za druhou samohlásku, čtyři za druhou souhlásku, jeden za poslední samohlásku a tři za poslední souhlásku. Násobíme to tak, abychom získali 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Podle argumentů symetrie existuje stejný počet uspořádání, která začínají souhláskou. Tím získáte celkem 720 opatření.
13. Kolik různých sad čtyř písmen lze vytvořit ze slova TRIANGLE?
    Řešení: Protože mluvíme o a soubor ze čtyř písmen z celkem osmi není pořadí důležité. Musíme vypočítat kombinaci C(8, 4) = 70.
14. Kolik různých sad čtyř písmen lze vytvořit ze slova TRIANGLE, které má dvě samohlásky a dvě souhlásky?
    Řešení: Tady formujeme náš soubor ve dvou krocích. Existují C(3, 2) = 3 způsoby, jak vybrat dvě samohlásky z celkem 3. Existují C(5, 2) = 10 způsobů, jak si vybrat souhlásky z pěti dostupných. Tím získáte celkem 3 x 10 = 30 sad.
15. Kolik různých sad čtyř písmen lze vytvořit ze slova TRIANGLE, pokud chceme alespoň jednu samohlásku?
    Řešení: To lze vypočítat takto:

• Počet sad čtyř s jednou samohláskou je C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Počet sad čtyř se dvěma samohláskami je C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Počet sad čtyř se třemi samohláskami je C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

To dává celkem 65 různých sad. Alternativně bychom mohli spočítat, že existuje 70 způsobů, jak vytvořit sadu libovolných čtyř písmen, a odečíst C(5, 4) = 5 způsobů, jak získat sadu bez samohlásek.