Výpočet točivého momentu s příklady

Při studiu toho, jak se objekty otáčejí, je rychle nutné zjistit, jak daná síla vede ke změně rotačního pohybu. Nazývá se tendence síly způsobovat nebo měnit rotační pohyb točivý momenta je to jeden z nejdůležitějších konceptů, kterým je třeba rozumět při řešení situací rotačního pohybu.

Kroutící moment (nazývaný také moment - většinou inženýry) se vypočítá vynásobením síly a vzdálenosti. Jednotky SI kroutícího momentu jsou newtonmetry nebo N * m (i když tyto jednotky jsou stejné jako jouly, krouticí moment není práce nebo energie, takže by to měly být pouze newtonmetry).

Ve výpočtech je točivý moment reprezentován řeckým písmenem tau: τ.

Kroutící moment je vektor množství, což znamená, že má směr i velikost. Je to upřímně jedna z nejzložitějších částí práce s točivým momentem, protože se počítá pomocí vektorového produktu, což znamená, že musíte použít pravostranné pravidlo. V takovém případě uchopte pravou ruku a stočte prsty své ruky ve směru otáčení způsobeném silou. Palec vaší pravé ruky nyní ukazuje ve směru vektoru točivého momentu. (To se může občas cítit mírně hloupě, protože držíte ruku a pantomimujete, abyste to udělali přijít na výsledek matematické rovnice, ale je to nejlepší způsob, jak si představit směr vektor.)

Vektorový vzorec, který dává vektor krouticího momentu τ je:

τ = r × F

Vektor r je polohový vektor vzhledem k počátku na ose otáčení (Tato osa je τ na obrázku). Toto je vektor s velikostí vzdálenosti od místa, kde je síla aplikována na osu rotace. Směruje od osy otáčení směrem k bodu, kde je aplikována síla.

Velikost vektoru se vypočítá na základě θ, což je rozdíl úhlu mezi r a F, pomocí vzorce:

τ = rFhřích(θ)

Pár klíčových bodů o výše uvedené rovnici, s některými referenčními hodnotami θ:

• θ = 0 ° (nebo 0 radiánů) - Silový vektor směřuje stejným směrem jako r. Jak byste asi mohli hádat, je to situace, kdy síla nezpůsobí rotaci kolem osy... a matematika to snáší. Protože hřích (0) = 0, tato situace má za následek τ = 0.
• θ = 180 ° (nebo π radians) - Toto je situace, kdy vektor síly směřuje přímo do r. Zasunutí směrem k ose rotace opět nezpůsobí žádnou rotaci a matematika opět tuto intuici podporuje. Protože sin (180 °) = 0, hodnota točivého momentu je opět τ = 0.
• θ = 90 ° (nebo π/ 2 radiány) - Zde je vektor síly kolmý na polohový vektor. Vypadá to jako nejúčinnější způsob, jak můžete na objekt tlačit, aby se zvýšila rotace, ale podporuje to matematika? Hřích (90 °) = 1, což je maximální hodnota, kterou může sinusová funkce dosáhnout, což vede k výsledku τ = rF. Jinými slovy, síla aplikovaná v jakémkoli jiném úhlu by poskytla menší točivý moment, než když je aplikována při 90 stupních.
• Stejný argument jako výše se vztahuje na případy θ = -90 ° (nebo -π/ 2 radiány), ale s hodnotou sin (-90 °) = -1, což má za následek maximální točivý moment v opačném směru.

Podívejme se na příklad, kdy vyvíjíte svislou sílu dolů, například když se pokoušíte povolit matice kol na ploché pneumatice šlápnutím na klíč kola. V této situaci je ideální situací mít klíč na klíče dokonale vodorovný, abyste na něj mohli šlápnout a získat maximální točivý moment. Bohužel to nefunguje. Místo toho klíčový klíč zapadá do matic, takže je v 15% sklonu k horizontále. Klíč na klíče má délku 0,60 m až do konce, kdy se váží plná hmotnost 900 N.

Jaký je točivý moment?

A co směr ?: Při použití pravidla „levostranného, ​​spravedlivého a mocného“ budete chtít nechat matici otáčet doleva - proti směru hodinových ručiček, abyste ji uvolnili. Pomocí pravé ruky a stočení prstů proti směru hodinových ručiček palec vyčnívá. Směr točivého momentu je tedy pryč od pneumatik... což je také směr, který chcete, aby konečně šly matice.

Chcete-li začít vypočítat hodnotu točivého momentu, musíte si uvědomit, že ve výše uvedeném nastavení je mírně zavádějící bod. (Toto je běžný problém v těchto situacích.) Všimněte si, že výše uvedených 15% je sklon k vodorovné rovině, ale to není úhel θ. Úhel mezi r a F musí být vypočtena. Je zde sklon 15 ° od horizontály plus 90 ° vzdálenost od horizontály k vektoru síly dolů, což vede k celkové hodnotě 105 ° jako hodnota θ.

To je jediná proměnná, která vyžaduje nastavení, takže s tím na místě stačí přiřadit další hodnoty proměnné:

• θ = 105°
• r = 0,60 m
• F = 900 N

τ = rF hřích(θ) =
(0,60 m) (900 N) sin (105 °) = 540 x 0,097 Nm = 520 Nm

Všimněte si, že výše uvedená odpověď zahrnovala zachování pouze dvou významná čísla, takže je zaoblený.

Výše uvedené rovnice jsou zvláště užitečné, když na objekt působí jediná známá síla, ale existují mnoho situací, kdy rotace může být způsobena silou, kterou nelze snadno změřit (nebo snad mnoho takových) síly). Krouticí moment zde často není vypočítáván přímo, ale může být namísto toho vypočítán ve vztahu k celkovému úhlové zrychlení, α, kterou objekt podstoupí. Tento vztah je dán následující rovnicí:

• Στ - Čistý součet veškerého točivého momentu působícího na objekt
• Já - moment setrvačnosti, což představuje odpor objektu ke změně úhlové rychlosti
• α - úhlové zrychlení