Jak vypočítat koeficient korelace

Při pohledu na rozptyl je mnoho otázek. Jeden z nejčastějších je přemýšlel, jak dobře se rovná data aproximuje. K odpovědi na tuto otázku existuje popisná statistika nazvaná korelační koeficient. Uvidíme, jak vypočítat tuto statistiku.

korelační koeficient, označeno r, řekne nám, jak blízko jsou údaje v bodový diagram padat podél přímky. Čím blíž absolutní hodnota z r je jedna, tím lepší je, že data jsou popsána lineární rovnicí. Li r = 1 nebo r = -1 pak je datová sada dokonale zarovnána. Datové sady s hodnotami r blízko nuly ukazují malý až žádný přímý vztah.

Vzhledem k dlouhým výpočtům je nejlepší vypočítat r s použitím kalkulačky nebo statistického softwaru. Vždy však stojí za to vědět, co kalkulačka dělá, když počítá. Následuje postup pro výpočet korelačního koeficientu hlavně ručně, s kalkulačkou používanou pro rutinní aritmetické kroky.

Začneme se seznamem kroků k výpočtu korelačního koeficientu. Data, se kterými pracujeme, jsou spárovaná data, z nichž každý bude označen (X_i, y_i).

1. Začneme několika předběžnými výpočty. Množství z těchto výpočtů budou použita v následných krocích našeho výpočtu r:
   1. Vypočítejte x̄, znamenat všech prvních souřadnic dat X_i.
   2. Vypočítat ȳ, průměr všech druhých souřadnic dat
   3. y_i.
   4. Vypočítat s _X vzorek standardní odchylka všech prvních souřadnic dat X_i.
   5. Vypočítat s _y vzorová standardní odchylka všech druhých souřadnic dat y_i.
2. Použijte vzorec (z_X)_i = (X_i - X) / s _X a vypočítat pro každou z nich standardizovanou hodnotu X_i.
3. Použijte vzorec (z_y)_i = (y_i – ȳ) / s _y a vypočítat pro každou z nich standardizovanou hodnotu y_i.
4. Násobné odpovídající standardizované hodnoty: (z_X)_i(z_y)_i
5. Přidejte produkty z posledního kroku společně.
6. Vydělte částku z předchozího kroku n - 1, kde n je celkový počet bodů v naší sadě párovaných dat. Výsledkem toho všeho je korelační koeficient r.

Tento proces není obtížný a každý krok je poměrně rutinní, ale shromažďování všech těchto kroků je docela zapojeno. Výpočet směrodatné odchylky je sám o sobě dost únavný. Výpočet korelačního koeficientu však zahrnuje nejen dvě standardní odchylky, ale řadu dalších operací.

Chcete-li přesně vidět, jak hodnota r je získáno, podíváme se na příklad. Opět je důležité si uvědomit, že pro praktické aplikace bychom pro výpočet chtěli použít naši kalkulačku nebo statistický software r pro nás.

Začneme výpisem párovaných dat: (1, 1), (2, 3), (4, 5), (5,7). Průměr z X hodnoty, průměr 1, 2, 4 a 5 je x = 3. Máme také, že ȳ = 4. Standardní odchylka

X hodnoty jsou s_X = 1,83 a s_y = 2.58. Následující tabulka shrnuje další výpočty potřebné pro r. Součet produktů v pravém sloupci je 2.969848. Protože jsou celkem čtyři body a 4 - 1 = 3, dělíme součet produktů 3. To nám dává korelační koeficient r = 2.969848/3 = 0.989949.