Jeden populární způsob, jak studovat pravděpodobnost, je hodit kostkami. Standardní matrice má šest stran potištěných malými tečkami číslováním 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Pokud je zemřít spravedlivé (a my to uděláme) převzít že všechny jsou), pak je každý z těchto výsledků stejně pravděpodobný. Protože existuje šest možných výsledků, pravděpodobnost získání kterékoli strany formy je 1/6. Pravděpodobnost válcování a 1 je 1/6, pravděpodobnost válcování a 2 je 1/6 atd. Ale co se stane, když přidáme další zemřít? Jaká je pravděpodobnost, že hodí dvě kostky?
Pravděpodobnost házení kostkami
Abychom správně určili pravděpodobnost házení kostkami, musíme znát dvě věci:
- Velikost ukázkový prostor nebo soubor celkových možných výsledků
- Jak často událost nastává
v pravděpodobnost, událost je určitá podmnožina vzorového prostoru. Například, když je válcována pouze jedna matrice, jako ve výše uvedeném příkladu, je prostor vzorku roven všem hodnotám na matrici nebo sadě (1, 2, 3, 4, 5, 6). Protože je matrice spravedlivá, každé číslo v sadě se vyskytuje pouze jednou. Jinými slovy, frekvence každého čísla je 1. Abychom určili pravděpodobnost válcování některého z čísel na matrici, vydělíme frekvenci události (1) velikostí prostoru vzorku (6), což má za následek pravděpodobnost 1/6.
Válcování dvou spravedlivých kostek více než zdvojnásobuje obtížnost výpočtu pravděpodobnosti. Je to proto, že válcování jedné matrice je nezávislé na válcování druhé formy. Jedna role nemá žádný vliv na druhou. Při jednání s nezávislými událostmi používáme pravidlo násobení. Použití stromového diagramu ukazuje, že z házení dvou kostek existuje 6 x 6 = 36 možných výsledků.
Předpokládejme, že první kostka, kterou hodíme, se objeví jako 1. Druhý vytlačovací válec může být 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6. Nyní předpokládejme, že první kostka je 2. Dalším razicím válcem může být 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6. Našli jsme již 12 potenciálních výsledků a dosud jsme nevyčerpali všechny možnosti první formy.
Tabulka pravděpodobnosti válcování dvěma kostkami
Možné výsledky dvou kostek jsou uvedeny v následující tabulce. Všimněte si, že počet celkových možných výsledků se rovná vzorkovacímu prostoru první matrice (6) násobil vzorkovacím prostorem druhé matrice (6), což je 36 mm.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tři nebo více kostek
Stejný princip platí, pokud pracujeme problémy týkající se tří kostek. Násobíme a vidíme, že existuje 6 x 6 x 6 = 216 možných výsledků. Vzhledem k tomu, že psaní opakovaného násobení je těžkopádné, můžeme pro zjednodušení práce použít exponenty. Pro dvě kostky je 62 možné výsledky. Pro tři kostky je 63 možné výsledky. Obecně platí, že pokud hodíme n kostky, pak je jich celkem 6n možné výsledky.
Ukázkové problémy
Na základě těchto znalostí můžeme vyřešit všechny možné problémy:
1. Vrhají se dvě šestihranné kostky. Jaká je pravděpodobnost, že součet obou kostek je sedm?
Nejjednodušší způsob, jak tento problém vyřešit, je nahlédnout do výše uvedené tabulky. Všimněte si, že v každém řádku je jedna kostka, kde součet obou kostek se rovná sedmi. Protože existuje šest řádků, existuje šest možných výsledků, kde součet dvou kostek se rovná sedmi. Počet celkových možných výsledků zůstává 36. Opět zjistíme pravděpodobnost vydělením frekvence událostí (6) velikostí prostoru vzorku (36), což má za následek pravděpodobnost 1/6.
2. Vrhají se dvě šestihranné kostky. Jaká je to pravděpodobnost součet ze dvou kostek jsou tři?
V předchozím problému jste si možná všimli, že buňky, kde je součet dvou kostek roven sedmi, jsou diagonální. Totéž platí i zde, s výjimkou případu, kdy jsou pouze dvě buňky, kde je součet kostek tři. Je to proto, že existují pouze dva způsoby, jak tohoto výsledku dosáhnout. Musíte hodit 1 a 2 nebo musíte hodit 2 a a 1. Kombinace pro součet sedmi jsou mnohem větší (1 a 6, 2 a 5, 3 a 4 atd.). Abychom zjistili pravděpodobnost, že součet dvou kostek je tři, můžeme dělit frekvenci události (2) velikostí prostoru vzorku (36), což vede k pravděpodobnosti 1/18.
3. Vrhají se dvě šestihranné kostky. Jaká je pravděpodobnost, že čísla na kostkách se liší?
Tento problém můžeme opět snadno vyřešit nahlédnutím do výše uvedené tabulky. Všimnete si, že buňky, kde čísla na kostkách jsou stejná, jsou diagonální. Je jich jen šest a jakmile je vyškrtneme, máme zbývající buňky, ve kterých jsou čísla na kostkách různá. Můžeme vzít počet kombinací (30) a vydělit je velikostí prostoru vzorku (36), což vede k pravděpodobnosti 5/6.