Dvourozměrná kinematika: Pohyb v rovině

Tento článek nastiňuje základní pojmy potřebné k analýze pohybu objektů ve dvou rozměrech, bez ohledu na síly, které způsobují zrychlení. Příkladem tohoto typu problému by bylo házení míče nebo vystřelení dělové koule. Předpokládá to obeznámenost s jednorozměrná kinematika, protože rozšiřuje stejné koncepty do dvourozměrného vektorového prostoru.

Kinematika zahrnuje posun, rychlost a zrychlení, které jsou všechny vektorová množství které vyžadují jak velikost, tak směr. Proto, abyste mohli začít problém v dvourozměrné kinematice, musíte nejprve definovat souřadnicový systém používáte. Obecně to bude z hlediska X-axis a y-axis, orientovaný tak, aby pohyb byl v pozitivním směru, i když mohou existovat okolnosti, kdy to není nejlepší metoda.

V případech, kdy se uvažuje o gravitaci, je obvyklé stanovit směr gravitace v negativním -y směr. Toto je konvence, která obecně problém zjednodušuje, i když by bylo možné provést výpočty s jinou orientací, pokud byste si to opravdu přáli.

Poziční vektor r je vektor, který přechází od počátku souřadnicového systému k danému bodu v systému. Změna polohy (Δr, prohlásil "Delta." r") je rozdíl mezi počátečním bodem (r₁) do koncového bodu (r₂). Definujeme průměrná rychlost (proti_av) tak jako:

proti_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Bereme limit jako Δt přístupy 0, dosáhneme okamžitá rychlostproti. Z hlediska počtu je to derivát r s ohledem na t, nebo dr/dt.

Jak se rozdíl v čase snižuje, počáteční a koncový bod se přibližují k sobě. Od směru r je stejný směr jako proti, je jasné, že vektor okamžité rychlosti v každém bodě cesty je tečný k cestě.

Užitečným znakem vektorových veličin je to, že je lze rozdělit na jejich složkové vektory. Derivát vektoru je součet jeho derivátů komponent, proto:

proti_X = dx/dt
proti_y = dy/dt

Velikost vektoru rychlosti udává Pythagorova věta ve tvaru:

|proti| = proti = sqrt (proti_X² + proti_y²)

Směr proti je orientován alfa stupňů proti směru hodinových ručiček od X-komponenta a lze ji vypočítat z následující rovnice:

opálení alfa = proti_y / proti_X

Akcelerace je změna rychlosti v daném časovém období. Podobně jako výše uvedená analýza zjistíme, že je to Δproti/Δt. Jeho limit je Δt přiblížení 0 poskytne derivát proti s ohledem na t.

Z hlediska komponent lze vektor zrychlení napsat jako:

A_X = dv_X/dt
A_y = dv_y/dt

nebo

A_X = d²X/dt²
A_y = d²y/dt²

Velikost a úhel (označený jako beta odlišit od alfa) vektoru čisté akcelerace se počítají se složkami podobným způsobem jako u rychlosti.

Dvourozměrná kinematika často zahrnuje rozdělení příslušných vektorů na jejich X- a y-komponenty a poté analyzovat každou ze složek, jako by šlo o jednorozměrné případy. Jakmile je tato analýza dokončena, složky rychlosti a / nebo zrychlení se pak kombinují zpět dohromady, aby se získaly výsledné dvourozměrné vektory rychlosti a / nebo zrychlení.

Výše uvedené rovnice mohou být všechny rozšířeny pro pohyb ve třech rozměrech přidáním a z- součást analýzy. To je obecně docela intuitivní, ačkoli je třeba věnovat pozornost tomu, aby se zajistilo, že se to provádí ve správném formátu, zejména s ohledem na výpočet orientačního úhlu vektoru.

Editoval Anne Marie Helmenstine, Ph. D.