Matematické vlastnosti vln

Fyzické vlny, nebo mechanické vlny, tvoří se vibracemi média, ať už jde o strunu, zemskou kůru nebo částice plynů a tekutin. Vlny mají matematické vlastnosti, které mohou být analyzovány, aby pochopily pohyb vlny. Tento článek představuje tyto obecné vlastnosti vln, spíše než jak je aplikovat ve specifických situacích ve fyzice.

Existují dva typy mechanických vln.

A je takové, že posuny média jsou kolmé (příčné) ke směru pohybu vlny podél média. Vibrace řetězce v periodickém pohybu, takže vlny se pohybují podél něj, je příčná vlna, stejně jako vlny v oceánu.

A podélná vlna je takové, že posuny média jsou tam a zpět ve stejném směru jako samotná vlna. Příkladem podélné vlny jsou zvukové vlny, ve kterých jsou částice vzduchu tlačeny podél ve směru jízdy.

Přestože vlny diskutované v tomto článku budou odkazovat na cestování v médiu, zde uvedená matematika může být použita k analýze vlastností nemechanických vln. Například elektromagnetické záření je schopné cestovat prázdným prostorem, ale přesto má stejné matematické vlastnosti jako jiné vlny. Například

1. Na vlny lze nahlížet jako na narušení média kolem rovnovážného stavu, který je obecně v klidu. Energie tohoto rušení je to, co způsobuje vlnový pohyb. Kaluž vody je v rovnováze, když neexistují vlny, ale jakmile je do ní vržen kámen, je rovnováha částic narušena a začíná se pohyb vln.
2. Narušení vlny cestuje, nebo propogáty, s určitou rychlostí, nazvaný vlnová rychlost (proti).
3. Vlny transportují energii, ale nezáleží. Samotné médium necestuje; jednotlivé částice procházejí pohybem tam a zpět nebo nahoru a dolů kolem rovnovážné polohy.

Pro matematický popis vlnového pohybu odkazujeme na pojem a vlnová funkce, který popisuje polohu částice v médiu kdykoli. Nejzákladnější vlnové funkce je sinusová vlna nebo sinusová vlna, což je a periodická vlna (tj. vlna s opakovaným pohybem).

Je důležité si uvědomit, že vlnová funkce nezobrazuje fyzickou vlnu, ale je to spíše graf posunu kolem rovnovážné polohy. To může být matoucí pojem, ale užitečné je, že můžeme použít sinusoidální vlnu k zobrazení většiny periodik pohyby, jako je pohyb v kruhu nebo kyvné kyvadlo, které nemusí nutně vypadat jako vlna při pohledu na skutečné pohyb.

• vlnová rychlost (proti) - rychlost šíření vlny
• amplituda (A) - maximální velikost posunu z rovnováhy v jednotkách SI metrů. Obecně je to vzdálenost od rovnovážného středu vlny k jejímu maximálnímu posunutí, nebo je to polovina celkového posunu vlny.
• doba (T) - je čas pro jeden vlnový cyklus (dva impulsy, nebo od hřebenu k hřebenu nebo korytu do koryta), v jednotkách SI sekund (i když to může být označováno jako "sekundy na cyklus").
• frekvence (F) - počet cyklů za jednotku času. Jednotka frekvence SI je hertz (Hz) a

  1 Hz = 1 cyklus / s = 1 s^-1

• úhlová frekvence (ω) - je 2π krát frekvence, v jednotkách SI radiánů za sekundu.
• vlnová délka (λ) - vzdálenost mezi jakýmikoli dvěma body na odpovídajících pozicích při opakovaných opakováních ve vlně, tedy (například) od jednoho hřebenu nebo koryta k dalšímu, v Jednotky SI metrů.
• vlnové číslo (k) - také nazýván propagační konstanta, toto užitečné množství je definováno jako 2 π děleno vlnovou délkou, takže jednotky SI jsou radiány na metr.
• puls - jedna poloviční vlnová délka, z rovnovážného zpět

Některé užitečné rovnice při definování výše uvedených veličin jsou:

proti = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / F = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Svislá poloha bodu na vlně, y, lze nalézt jako funkci vodorovné polohy, Xa čas, t, když se na to podíváme. Děkujeme laskavým matematikům za to, že pro nás tuto práci provedli, a získáme následující užitečné rovnice pro popis vlnového pohybu:

y(x, t) = A hřích ω(t - X/proti) = A hřích 2π f(t - X/proti)

y(x, t) = A hřích 2π(t/T - X/proti)

y (x, t) = A hřích (ω t - kx)

Jedním z posledních rysů vlnové funkce je aplikace počet vzít druhou derivaci dává vlnová rovnice, což je zajímavý a někdy užitečný produkt (který ještě jednou děkujeme matematikům a přijímáme je, aniž by to dokazovali):

d²y / dx² = (1 / proti²) d²y / dt²

Druhá derivát y s ohledem na X je ekvivalentní druhé derivaci y s ohledem na t děleno druhou vlnovou rychlostí. Klíčovou užitečností této rovnice je to kdykoli se to stane, víme, že funkce y funguje jako vlna s vlnovou rychlostí proti a proto, situaci lze popsat pomocí vlnové funkce.