Jedna věc, která je na matematice skvělá, je způsob, jakým se zdánlivě nesouvisející oblasti předmětu spojují překvapivým způsobem. Jedním z příkladů je aplikace nápadu z počtu na zvonová křivka. K zodpovězení následující otázky se používá nástroj v počtu, známý jako derivát. Kde jsou inflexní body v grafu funkce hustoty pravděpodobnosti pro normální rozdělení?
Křivky mají celou řadu funkcí, které lze klasifikovat a kategorizovat. Jedna položka týkající se křivek, kterou můžeme zvážit, je, zda graf funkce roste nebo klesá. Další rys se týká něčeho známého jako konkávnost. To lze zhruba považovat za směr, kterým čelí část křivky. Formálně konkávnost je směr zakřivení.
Část křivky je označena jako konkávní, pokud má tvar písmene U. Část křivky je konkávní dolů, pokud má tvar jako následující ∩. Je snadné si pamatovat, jak to vypadá, když přemýšlíme o otevření jeskyně směrem nahoru pro konkávní nahoru nebo dolů pro konkávní dolů. Inflexní bod je místo, kde křivka mění konkávitu. Jinými slovy je to bod, kde křivka přechází z konkávní nahoru do konkávní dolů nebo naopak.
V počtu je derivát nástrojem, který se používá různými způsoby. Zatímco nejznámějším použitím derivátu je stanovení sklonu přímky tečné ke křivce v daném bodě, existují i další aplikace. Jedna z těchto aplikací se týká hledání inflexních bodů grafu funkce.
Pokud graf y = f (x) má inflexní bod na x = a, pak druhá derivace F hodnoceno na A je nula. Píšeme to v matematickém zápisu jako f '(a) = 0. Pokud je druhá derivace funkce v bodě nula, neznamená to automaticky, že jsme našli inflexní bod. Můžeme však hledat potenciální inflexní body tím, že uvidíme, kde je druhá derivace nulová. Tuto metodu použijeme k určení umístění inflexních bodů normální distribuce.
Z toho je snadno vidět, že inflexní body se vyskytují tam, kde x = μ ± σ. Jinými slovy, inflexní body jsou umístěny o jednu standardní odchylku nad střední hodnotou a jednu standardní odchylku pod střední hodnotou.