Mnoho hazardních her lze analyzovat pomocí matematické pravděpodobnosti. V tomto článku prozkoumáme různé aspekty hry zvané Liar's Dice. Po popisu této hry vypočítáme pravděpodobnosti, které s ní souvisejí.
Stručný popis lhářských kostek
Hra Liar's Dice je vlastně rodinou her, která zahrnuje blafování a podvody. Existuje celá řada variant této hry a jde o několik různých jmen, například Pirate's Dice, Deception a Dudo. Verze této hry byla uvedena ve filmu Piráti z Karibiku: Truhlice mrtvého muže.
Ve verzi hry, kterou prozkoumáme, má každý hráč šálek a sadu stejného počtu kostek. Kostky jsou standardní šestihranné kostky, které jsou očíslovány od jedné do šesti. Každý hodí kostkami a drží je zakryté šálkem. Ve vhodnou chvíli se hráč podívá na své kostky a drží je před ostatními. Hra je navržena tak, aby každý hráč měl dokonalou znalost své vlastní sady kostek, ale neměl žádné znalosti o ostatních kostkách, které byly hodeny.
Poté, co měl každý příležitost podívat se na své kostky, které byly válcovány, začíná nabídka. Na každém tahu má hráč dvě možnosti: učinit vyšší nabídku nebo volat předchozí nabídku lež. Nabídky lze zvýšit tím, že nabídnete vyšší hodnotu kostek od jedné do šesti, nebo nabídnete větší počet stejné hodnoty kostek.
Například nabídku „Tři dvojky“ lze zvýšit uvedením slova „Čtyři dvojky“. Mohlo by se také zvýšit řeknutím „Tři trojky“. Obecně se počet kostek ani hodnoty kostek nemohou snížit.
Protože většina kostek je skryta, je důležité vědět, jak vypočítat některé pravděpodobnosti. Tím, že to bude vědět, je snazší zjistit, jaké nabídky budou pravděpodobně pravdivé a jaké budou pravděpodobně lži.
Očekávaná hodnota
První úvahou je zeptat se: „Kolik kostek stejného druhu bychom očekávali?“ Například, pokud hodíme pět kostek, kolik z nich bychom očekávali jako dva? Odpověď na tuto otázku využívá myšlenku očekávaná hodnota.
Očekávaná hodnota náhodné proměnné je pravděpodobnost určité hodnoty vynásobená touto hodnotou.
Pravděpodobnost, že první kostka je dvě, je 1/6. Protože kostky jsou na sobě nezávislé, pravděpodobnost, že některá z nich jsou dvě, je 1/6. To znamená, že očekávaný počet rolovaných dvojic je 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.
O výsledku dvou samozřejmě samozřejmě není nic zvláštního. O počtu kostek, které jsme zvažovali, není nic zvláštního. Pokud bychom se převalili n kostky, pak je očekávaný počet některého ze šesti možných výsledků n/6. Toto číslo je dobré znát, protože nám poskytuje základní linii, kterou bychom měli použít při zpochybňování nabídek jiných.
Například, pokud hrajeme na lháře kostky se šesti kostkami, očekávaná hodnota kterékoli z hodnot 1 až 6 je 6/6 = 1. To znamená, že bychom měli být skeptičtí, pokud někdo nabídne více než jednu hodnotu. Z dlouhodobého hlediska bychom průměrovali jednu z každé z možných hodnot.
Příklad přesně válcování
Předpokládejme, že hodíme pěti kostkami a chceme najít pravděpodobnost, že hodí dva trojky. Pravděpodobnost, že zemřít je tři, je 1/6. Pravděpodobnost, že zemřít nebudou tři, je 5/6. Role těchto kostek jsou nezávislé události, a tak jsme pravděpodobnosti společně násobíme pomocí pravidlo násobení.
Pravděpodobnost, že první dvě kostky jsou trojky a ostatní kostky nejsou trojky, je dána následujícím produktem:
(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)
První dvě kostky jsou trojky je jen jedna možnost. Kostky, které jsou trojky, by mohly být kterékoli dvě z pěti kostek, které hodíme. Označujeme zemřít, která není tři krát *. Zde jsou možné způsoby, jak mít dva trojky z pěti rolí:
- 3, 3, *, * ,*
- 3, *, 3, * ,*
- 3, *, * ,3 ,*
- 3, *, *, *, 3
- *, 3, 3, *, *
- *, 3, *, 3, *
- *, 3, *, *, 3
- *, *, 3, 3, *
- *, *, 3, *, 3
- *, *, *, 3, 3
Vidíme, že existuje deset způsobů, jak hodit přesně dvě trojice z pěti kostek.
Nyní vynásobíme naši pravděpodobnost výše 10 způsoby, jak můžeme mít tuto konfiguraci kostek. Výsledek je 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. To je přibližně 16%.
Obecný případ
Nyní zobecňujeme výše uvedený příklad. Zvažujeme pravděpodobnost válcování n kostky a získání přesně k které mají určitou hodnotu.
Stejně jako dříve je pravděpodobnost převrácení požadovaného čísla 1/6. Pravděpodobnost nezvolení tohoto čísla je dána pravidlo doplňku jako 5/6. Chceme k z našich kostek bude vybrané číslo. Tohle znamená tamto n - k jsou jiné číslo, než jaké chceme. Pravděpodobnost prvního k kostky jsou určité číslo s ostatními kostkami, ne toto číslo je:
(1/6)k(5/6)n - k
Bylo by únavné, nemluvě o časově náročné, vyjmenovat všechny možné způsoby, jak hodit konkrétní konfiguraci kostek. Proto je lepší používat naše zásady počítání. Prostřednictvím těchto strategií vidíme, že počítáme kombinace.
Existují C (n, k) způsoby, jak se válet k určitého druhu kostek z n kostky. Toto číslo je dáno vzorcem n!/(k!(n - k)!)
Když dáme všechno dohromady, vidíme to, když se válíme n kostky, pravděpodobnost, že přesně k z nich je konkrétní číslo dané vzorcem:
[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)k(5/6)n - k
Existuje jiný způsob, jak zvážit tento typ problému. To zahrnuje binomické rozdělení s pravděpodobností úspěchu danou str = 1/6. Vzorec přesně k z toho, že tyto kostky jsou určitým počtem, se nazývá pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro binomické rozdělení.
Pravděpodobnost nejméně
Další situací, kterou bychom měli zvážit, je pravděpodobnost, že se hodí alespoň určitý počet konkrétní hodnoty. Například, když hodíme pět kostek, jaká je pravděpodobnost, že hodí alespoň tři? Mohli bychom hodit tři, čtyři nebo pět. Abychom určili pravděpodobnost, kterou chceme najít, sečteme tři pravděpodobnosti.
Tabulka pravděpodobností
Níže máme tabulku pravděpodobností pro přesné získání k určité hodnoty, když hodíme pět kostek.
Počet kostek k | Pravděpodobnost válcování přesně k Kostky určitého čísla |
0 | 0.401877572 |
1 | 0.401877572 |
2 | 0.160751029 |
3 | 0.032150206 |
4 | 0.003215021 |
5 | 0.000128601 |
Dále uvažujeme následující tabulku. Je to pravděpodobnost, že hodíme alespoň určitý počet hodnot, když hodíme celkem pěti kostkami. Vidíme, že i když je velmi pravděpodobné, že hodí alespoň jedno 2, není tak pravděpodobné, že hodí alespoň čtyři 2.
Počet kostek k | Pravděpodobnost válcování nejméně k Kostky určitého čísla |
0 | 1 |
1 | 0.598122428 |
2 | 0.196244856 |
3 | 0.035493827 |
4 | 0.00334362 |
5 | 0.000128601 |