Co jsou to obrácené, protichůdné a inverzní?

Podmíněné příkazy se projevují všude. V matematice nebo jinde netrvá dlouho, než se dostaneme do nějaké podoby „If P pak Q. “ Podmíněné výroky jsou skutečně důležité. Důležité jsou také prohlášení, která se vztahují k původnímu podmíněnému prohlášení změnou pozice P, Q a odmítnutí prohlášení. Začneme původním tvrzením a končíme třemi novými podmíněnými tvrzeními, která jsou pojmenována inverzní, kontrazitivní a inverzní.

Než definujeme opačný, kontrapositivní a inverzní podmíněný výrok, musíme prozkoumat téma negace. Každé prohlášení v logika je pravda nebo nepravda. Negace prohlášení jednoduše zahrnuje vložení slova „ne“ do správné části prohlášení. Doplnění slova „ne“ se provádí tak, že mění pravdivý stav prohlášení.

Pomůže se podívat na příklad. Prohlášení „The pravoúhlý trojuhelník je rovnostranný “má negaci„ Pravý trojúhelník není rovnostranný. “ Negace „10 je sudé číslo“ je výrok „10 není sudé číslo“. Samozřejmě za to poslední příklad bychom mohli použít definici lichého čísla a místo toho říci, že „10 je liché číslo.“ Poznamenáváme, že pravdivost tvrzení je opakem pravdy tvrzení negace.

Tuto myšlenku prozkoumáme v abstraktnějším prostředí. Když prohlášení P je pravda, prohlášení „ne P“Je nepravdivé. Podobně, pokud P je nepravdivé, jeho negace „neP" je pravda. Negace se běžně označují vlnovkou ~. Takže místo psaní „ne P„Můžeme napsat ~P.

Nyní můžeme definovat inverzní, kontrapositivní a inverzní podmíněný příkaz. Začneme podmíněným příkazem „If P pak Q.”

• Opakem podmíněného prohlášení je „If Q pak P.”
• Protikladem podmíněného tvrzení je „Pokud ne Q pak ne P.”
• Inverzní podmínka je „Pokud ne P pak ne Q.”

Uvidíme, jak tato prohlášení fungují s příkladem. Předpokládejme, že začneme s podmíněným prohlášením „Pokud včera pršelo, chodník je mokrý.“

• Opakem podmíněného tvrzení je „Pokud je chodník mokrý, pak včera pršelo.“
• Protikladem podmíněného tvrzení je „Pokud chodník není mokrý, včera v noci nepršelo.“
• Inverzní podmínka je: „Pokud včera nepršelo, chodník není mokrý.“

Možná se divíme, proč je důležité zformulovat tato další podmíněná prohlášení z našeho původního. Pečlivý pohled na výše uvedený příklad něco odhalí. Předpokládejme, že původní výrok „Pokud včera pršelo, je chodník mokrý“ je pravdivý. Která z ostatních tvrzení musí být také pravdivá?

• Obráceně „Pokud je chodník mokrý, pak pršelo včera v noci“ nemusí být nutně pravda. Chodník může být mokrý z jiných důvodů.
• Inverze „Pokud včera nepršelo, pak chodník není mokrý“ nemusí být nutně pravda. Opět to, že nepršelo, neznamená, že chodník není mokrý.
• Kontrastní „Pokud chodník není mokrý, pak včera nepršelo“ je pravdivé tvrzení.

Z tohoto příkladu (a co lze matematicky dokázat) vidíme, že podmíněné tvrzení má stejnou pravdivostní hodnotu jako jeho kontrapositivum. Říkáme, že tato dvě tvrzení jsou logicky rovnocenná. Vidíme také, že podmíněný příkaz není logicky ekvivalentní jeho obrácenému a inverznímu.

Protože podmíněná tvrzení a její kontraceptiva jsou logicky ekvivalentní, můžeme to využít k naší výhodě, když dokazujeme matematické věty. Namísto přímého dokazování pravdy podmíněného prohlášení můžeme místo toho použít nepřímou důkazní strategii dokazující pravdu kontrastuitu tohoto prohlášení. Kontrapositivní důkazy fungují, protože pokud je antikonceptiva pravdivá, je z důvodu logické rovnocennosti pravdivé i původní podmíněné prohlášení.

Ukazuje se, že i když inverzní a inverzní nejsou logicky ekvivalentní původnímu podmíněnému příkazu, jsou si navzájem logicky rovnocenné. K tomu existuje snadné vysvětlení. Začneme podmíněným příkazem „If Q pak P”. Protikladem tohoto tvrzení je „Pokud ne P pak ne Q. “ Protože inverzní je kontrapositivem inverzní, jsou inverzní a inverzní logicky ekvivalentní.