Teorie množin a jak se používá

Teorie množin je základní koncept celé matematiky. Toto odvětví matematiky tvoří základ pro další témata.

Intuitivně je množina objektů, které se nazývají elementy. Ačkoli se to jeví jako jednoduchý nápad, má to dalekosáhlé důsledky.

Prvky sady mohou být opravdu cokoli - čísla, stavy, auta, lidé nebo dokonce jiné sady jsou všechny možnosti prvků. K vytvoření sady může být použito téměř všeho, co lze sbírat společně, i když existují určité věci, na které musíme být opatrní.

Prvky sady jsou buď v sadě, nebo nikoli v sadě. Můžeme popsat množinu definující vlastností, nebo můžeme uvést prvky v množině. Pořadí, ve kterém jsou uvedeny, není důležité. Takže množiny {1, 2, 3} a {1, 3, 2} jsou stejné sady, protože oba obsahují stejné prvky.

Zvláštní pozornost si zaslouží dvě sady. První je univerzální sada, obvykle označovaná U. Tato sada obsahuje všechny prvky, ze kterých si můžeme vybrat. Tato sada se může lišit od jednoho nastavení k druhému. Například jedna univerzální sada může být sada

Druhá sada, která vyžaduje určitou pozornost, se nazývá prázdná sada. Prázdná sada je jedinečná sada je sada bez prvků. Můžeme to napsat jako {} a označit tuto sadu symbolem ∅.

Kolekce některých prvků sady A se nazývá a podmnožina z A. Říkáme to A je podmnožinou B pokud a jen pokud každý prvek A je také prvkem B. Pokud existuje konečné číslo n prvků v sadě, pak jsou celkem 2ⁿ podmnožiny A. Tato sbírka všech podmnožin A je množina, která se nazývá napájení z A.

Stejně jako můžeme provádět operace, jako je sčítání - na dvou číslech k získání nového čísla se operace teorie teorie používají k vytvoření sady ze dvou dalších sad. Existuje řada operací, ale téměř všechny jsou složeny z následujících tří operací:

• unie - Unie znamená spojení. Spojení setů A a B sestává z prvků, které jsou v jednom A nebo B.
• Průsečík - Křižovatka je místem, kde se setkávají dvě věci. Průnik sad A a B sestává z prvků, které v obou A a B.
• Dodatek - Doplněk sady A sestává ze všech prvků v univerzální sadě, které nejsou prvky A.

Jeden nástroj, který je užitečný při znázornění vztahu mezi různými sadami, se nazývá Vennův diagram. Obdélník představuje univerzální sadu pro náš problém. Každá sada je reprezentována kruhem. Pokud se kruhy navzájem překrývají, ukazuje to průnik našich dvou sad.

Teorie množin se používá v celé matematice. Používá se jako základ mnoha podpolí matematiky. V oblastech týkajících se statistiky se používá zejména v pravděpodobnosti. Většina pojmů pravděpodobnosti je odvozena z důsledků teorie množin. Opravdu, jeden způsob, jak uvést axiomy pravděpodobnosti zahrnuje teorii množin.