Poté, co viděl vzorce vytištěné v učebnici nebo napsané na tabuli učitelem, je to někdy překvapivé abychom zjistili, že mnoho z těchto vzorců lze odvodit z některých základních definic a pečlivého myšlení. To platí zejména v pravděpodobnosti při zkoumání vzorce pro kombinace. Odvození tohoto vzorce se opravdu opírá o princip multiplikace.
Princip multiplikace
Předpokládejme, že existuje úkol a tento úkol je rozdělen do celkem dvou kroků. První krok lze provést v k způsoby a druhý krok lze provést v n způsoby. To znamená, že poté násobení tato čísla dohromady, počet způsobů, jak úkol plnit, je nk.
Například, pokud máte na výběr deset druhů zmrzliny a tři různé polevy, kolik z jedné kopečky, jednu polevu můžete vyrobit? Vynásobte tři po 10 a získejte 30 hodin.
Formování Permutací
Nyní použijte princip násobení k odvození vzorce pro počet kombinací r prvky převzaté ze sady n Prvky. Nechat P (n, r) označte číslo permutace z r prvky ze sady n a C (n, r) označuje počet kombinací r prvky ze sady n Prvky.
Přemýšlejte o tom, co se stane, když vytvoříte permutaci r prvků z celkem n. Podívejte se na to jako na dvoustupňový proces. Nejprve vyberte sadu r prvky ze sady n. To je kombinace a existují C(n, r) způsoby, jak toho dosáhnout. Druhým krokem v procesu je objednávka r prvky s r volby pro první, r - 1 výběr pro druhý, r - 2 pro třetí, 2 pro předposlední a 1 pro poslední. Podle principu multiplikace existují r X (r -1) x... x 2 x 1 = r! způsoby, jak toho dosáhnout. Tento vzorec je napsán s faktoriální zápis.
Derivace vzorce
Shrnout, P(n,r ), počet způsobů, jak vytvořit permutaci r prvků z celkem n je určeno:
- Formování kombinace r prvků z celkem n v kterémkoli z C(n,r ) způsoby
- Objednání těchto r prvky kterékoli z r! způsoby.
Podle principu násobení je počet způsobů, jak vytvořit permutaci, stejný P(n,r ) = C(n,r ) X r!.
Použití vzorce pro permutace P(n,r ) = n!/(n - r)!, které lze nahradit výše uvedeným vzorcem:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Nyní to vyřešte, počet kombinací, C(n,r ) a uvidíte to C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Jak bylo ukázáno, trochu myšlenky a algebry může jít dlouhou cestu. Jiné vzorce pravděpodobnosti a statistiky lze také odvodit pomocí pečlivého použití definic.