Ekonomové používají produkční funkce popsat vztah mezi vstupy (tj. faktory produkce), jako je kapitál a práce a množství produkce, které může firma vyrobit. Produkční funkce může mít dvě formy - v krátkodobé verzi je to výše kapitálu (můžete na to vzpomenout) jako velikost továrny), jak je bráno, a množství práce (tj. pracovníků) je jediným parametrem funkce. V dlouhý běh, jak množství práce, tak množství kapitálu se však mohou lišit, což má za následek dva parametry produkční funkce.
Průměrný produkt práce udává obecnou míru produkce na pracovníka a vypočítává se vydělením celkové produkce (q) počtem pracovníků použitých k výrobě této produkce (L). Podobně průměrný produkt kapitálu poskytuje obecné měřítko produkce na jednotku kapitálu a vypočítává se vydělením celkového výkonu (q) částkou kapitálu použitého k výrobě této produkce (K).
Průměrný produkt práce a průměrný produkt kapitálu se obecně označují jako APL a APK, jak je uvedeno výše. Průměrný produkt práce a průměrný produkt kapitálu lze považovat za měřítko práce a kapitálu produktivita, resp.
Vztah mezi průměrným produktem práce a celkovým výkonem lze ukázat na funkci krátkodobé výroby. Pro dané množství práce je průměrný produkt práce sklon linie, která vede od počátku k bodu produkční funkce, která odpovídá tomuto množství práce. To je znázorněno na obrázku výše.
Důvod, proč tento vztah platí, je, že sklon čáry se rovná vertikální změně (tj. Změně v proměnná osy y) dělená vodorovnou změnou (tj. změnou proměnné osy x) mezi dvěma body na řádek. V tomto případě je vertikální změna q mínus nula, protože linie začíná na počátku a horizontální změna je L mínus nula. To dává sklon q / L podle očekávání.
Průměrný produkt kapitálu by bylo možné vizualizovat stejným způsobem, pokud by fungovala krátkodobá výroba byly kresleny jako funkce kapitálu (udržující množství pracovní konstanty) spíše než jako funkce práce.
Někdy je užitečné vypočítat příspěvek k produkci posledního pracovníka nebo k poslední jednotce kapitálu, spíše než se dívat na průměrnou produkci všech pracovníků nebo kapitálu. Udělat toto, ekonomové používat marginální produkt práce a marginální produkt kapitálu.
Matematicky je mezní produkt práce jen změnou produkce způsobenou změnou množství práce dělenou touto změnou množství práce. Podobně mezní produkt kapitálu je změna produkce způsobená změnou ve výši kapitálu vydělenou touto změnou ve výši kapitálu.
Mezní produkt práce a mezní produkt kapitálu jsou definovány jako funkce množství práce a kapitál, a výše uvedené vzorce by odpovídaly marginálnímu produktu práce na L2 a mezní produkt kapitálu v K2. Pokud jsou takto definovány, mezní produkty se interpretují jako přírůstková produkce vyrobená poslední použitou jednotkou práce nebo poslední použitou jednotkou kapitálu. V některých případech však může být marginální produkt definován jako přírůstková produkce, kterou by produkovala další jednotka práce nebo další jednotka kapitálu. Z kontextu by mělo být zřejmé, která interpretace se používá.
Zejména při analýze mezního produktu práce nebo kapitálu je z dlouhodobého hlediska důležité si uvědomit, například mezní produkt nebo práce je další výstup z jedné další jednotky práce, vše ostatní je drženo konstantní. Jinými slovy, při výpočtu mezního produktu práce je výše kapitálu držena konstantní. Naopak, mezním produktem kapitálu je mimořádná produkce z jedné další jednotky kapitálu, která udržuje množství pracovní konstanty.
Pro ty, kteří mají obzvláště matematický sklon (nebo jejichž ekonomické kurzy používají) počet), je užitečné poznamenat, že pro velmi malé změny v práci a kapitálu je mezní produkt práce derivátem množství produkce s s ohledem na množství práce a mezní produkt kapitálu je derivátem množství produkce s ohledem na množství kapitálu. V případě dlouhodobé výrobní funkce, která má více vstupů, jsou marginální produkty částečnými deriváty produkčního množství, jak je uvedeno výše.
Vztah mezi mezním produktem práce a celkovou produkcí lze ukázat na funkci krátkodobé výroby. Pro dané množství práce je mezním produktem práce sklon linie, která je tečná k bodu na produkční funkci, který odpovídá tomuto množství práce. To je znázorněno na obrázku výše. (Technicky to platí pouze pro velmi malé změny v množství práce a nevztahuje se dokonale diskrétní změny v množství práce, ale je to stále užitečné jako ilustrativní pojem.)
Mezní produkt kapitálu by bylo možné vizualizovat stejným způsobem, pokud by fungovala krátkodobá produkce byly kresleny jako funkce kapitálu (udržující množství pracovní konstanty) spíše než jako funkce práce.
Je téměř všeobecně pravda, že produkční funkce nakonec ukáže, co je známé klesající mezní produkt práce. Jinými slovy, většina výrobních procesů je taková, že dosáhnou bodu, kdy každý další přivedený pracovník nepřispěje k výstupu tolik jako ten, který přišel dříve. Proto produkční funkce dosáhne bodu, kdy se mezní produkt práce sníží se zvyšujícím se množstvím použité práce.
To je ilustrováno výše uvedenou produkční funkcí. Jak bylo uvedeno výše, mezní produkt práce je znázorněn sklonem linie tečné k produkční funkci v daném množství a tyto čáry se budou rovnat s rostoucím množstvím práce, pokud bude mít produkční funkce obecný tvar zobrazené na obrázku výše.
Abychom zjistili, proč klesající mezní produkt práce je tak převládající, zvažte spoustu kuchařů pracujících v kuchyni restaurace. První kuchař bude mít vysoce marginální produkt, protože může běžet a používat tolik částí kuchyně, kolik dokáže zvládnout. Když se však přidá více pracovníků, množství disponibilního kapitálu je spíše omezujícím faktorem a nakonec více kuchařů nepovede k mnohem většímu výkonu, protože mohou používat kuchyň pouze tehdy, když jiný kuchař odejde a přestávka. Je dokonce teoreticky možné, že pracovník má negativní marginální produkt - možná pokud jeho uvedení do kuchyně ho prostě postaví do cesty všem ostatním a zabrání jeho produktivitě.
Produkční funkce také obvykle vykazují klesající marginální produkt kapitálu nebo jev, který je produkční funkce dosáhnou bodu, kdy každá další jednotka kapitálu není tak užitečná jako ta, která přišla před. Stačí jen přemýšlet o tom, jak užitečný by byl desátý počítač pro pracovníka, abychom pochopili, proč se tento vzorec obvykle vyskytuje.