V celé matematice a statistice musíme vědět, jak počítat. To platí zejména pro některé pravděpodobnost problémy. Předpokládejme, že dostáváme celkem n odlišné objekty a chcete vybrat r z nich. To se dotýká přímo oblasti matematiky známé jako kombinatorika, což je studium počítání. Dva z hlavních způsobů, jak je spočítat r objekty z n elementy se nazývají permutace a kombinace. Tyto koncepty spolu úzce souvisejí a snadno jsou zmateny.
Jaký je rozdíl mezi kombinací a permutací? Klíčovou myšlenkou je řád. Permutace věnuje pozornost tomu, jak vybíráme naše objekty. Stejná sada objektů, ale přijatá v jiném pořadí, nám poskytne různé permutace. Díky kombinaci stále vybíráme r objekty z celkem n, ale objednávka se již nebere v úvahu.
Příklad Permutací
Abychom rozlišili mezi těmito myšlenkami, vezmeme v úvahu následující příklad: kolik permutací existuje dvou písmen ze sady {a, b, c}?
Zde uvádíme seznam všech dvojic prvků z dané množiny a přitom věnujeme pozornost objednávce. Existuje celkem šest permutací. Seznam všech těchto je: ab, ba, bc, cb, ac a ca. Všimněte si, že jako permutace
ab a ba jsou odlišné, protože v jednom případě A byl vybrán jako první a ve druhém A byl vybrán druhý.Příklad kombinací
Nyní odpovíme na následující otázku: Kolik je kombinací dvou písmen ze sady {a, b, c}?
Protože jednáme o kombinacích, staráme se o objednávku. Tento problém můžeme vyřešit pohledem zpět na permutace a poté vyloučením těch, které obsahují stejná písmena. Jako kombinace ab a ba jsou považovány za stejné. Existují tedy pouze tři kombinace: ab, ac a bc.
Vzorce
Pro situace, se kterými se setkáváme s většími množinami, je příliš časově náročné vyjmenovat všechny možné permutace nebo kombinace a spočítat konečný výsledek. Naštěstí existují vzorce, které nám dávají počet permutací nebo kombinací n přijaté předměty r včas.
V těchto vzorcích používáme zkratkovou notaci n! volal nfaktoriální. Faktoriál jednoduše říká, že znásobí všechna kladná celá čísla menší nebo rovno n spolu. Takže například 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Podle definice 0! = 1.
Počet permutací n přijaté předměty r najednou je dáno vzorcem:
P(n,r) = n!/(n - r)!
Počet kombinací n přijaté předměty r najednou je dáno vzorcem:
C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]
Vzorce v práci
Chcete-li zobrazit vzorce v práci, podívejme se na první příklad. Počet permutací sady tří objektů pořízených po dvou je dán vztahem P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. To přesně odpovídá tomu, co jsme získali vyjmenováním všech permutací.
Počet kombinací sady tří objektů pořízených po dvou je dán vztahem:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Znovu se to přesně shoduje s tím, co jsme viděli dříve.
Vzorce rozhodně šetří čas, když jsme požádáni, abychom našli počet permutací větší sady. Například, kolik permutací existuje soubor deseti předmětů pořízených po třech najednou? Chvíli by to trvalo seznam všech permutací, ale u vzorců vidíme, že by to bylo:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutací.
Hlavní myšlenka
Jaký je rozdíl mezi permutacemi a kombinacemi? Pointa je, že v situacích počítání, které zahrnují objednávku, by se měly používat permutace. Pokud objednávka není důležitá, měly by být použity kombinace.