Je důležité vědět, jak vypočítat pravděpodobnost události. Některé typy pravděpodobností se nazývají nezávislé. Když máme pár nezávislých událostí, někdy se můžeme zeptat: „Jaká je pravděpodobnost, že k oběma těmto událostem dojde?“ V této situaci můžeme jednoduše znásobit naše dvě pravděpodobnosti dohromady.
Uvidíme, jak využít multiplikační pravidlo pro nezávislé události. Poté, co jsme prošli základy, uvidíme podrobnosti několika výpočtů.
Začneme definicí nezávislých událostí. v pravděpodobnost, jsou dvě události nezávislé, pokud výsledek jedné události neovlivní výsledek druhé události.
Dobrým příkladem dvojice nezávislých událostí je situace, kdy hodíme zemřít a poté převrátit minci. Číslo zobrazené na matrici nemá žádný vliv na hodenou minci. Proto jsou tyto dvě události nezávislé.
Příkladem dvojice událostí, které nejsou nezávislé, by bylo pohlaví každého dítěte v sadě dvojčat. Pokud jsou dvojčata identická, budou oba muži, nebo oba budou ženy.
Pravidlo multiplikace pro nezávislé události souvisí s pravděpodobností dvou událostí s pravděpodobností, že k nim dojde. Abychom mohli toto pravidlo použít, musíme mít pravděpodobnost každé z nezávislých událostí. Vzhledem k těmto událostem pravidlo multiplikace uvádí pravděpodobnost, že dojde k oběma událostem, je nalezena vynásobením pravděpodobností každé události.
Označujte události A a B a pravděpodobnosti každého P (A) a P (B). Li A a B jsou nezávislé události, pak:
Některé verze tohoto vzorce používají ještě více symbolů. Místo slova „a“ můžeme místo toho použít symbol průniku: ∩. Někdy se tento vzorec používá jako definice nezávislých událostí. Události jsou nezávislé, pouze pokud P (A a B) = P (A) X P (B).
Uvidíme, jak používat multiplikační pravidlo na několika příkladech. Nejprve předpokládejme, že převálíme šestibokou matrici a poté převrátíme minci. Tyto dvě události jsou nezávislé. Pravděpodobnost válcování 1 je 1/6. Pravděpodobnost hlavy je 1/2. Pravděpodobnost válcování 1 a získání hlavy je 1/6 x 1/2 = 1/12.
Pokud bychom byli vůči tomuto výsledku nakloněni být skeptičtí, je tento příklad dost malý na to, aby byly všechny výsledky mohl být uveden: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Vidíme, že existuje dvanáct výsledků, z nichž všechny jsou stejně pravděpodobné. Pravděpodobnost 1 a hlava je tedy 1/12. Pravidlo multiplikace bylo mnohem efektivnější, protože to nevyžadovalo, abychom uvedli celý náš ukázkový prostor.
Pro druhý příklad předpokládejme, že čerpáme kartu z a standardní balíček, vyměňte tuto kartu, zamíchejte balíček a poté znovu vytáhněte. Potom se ptáme, jaká je pravděpodobnost, že obě karty jsou králové. Od té doby jsme nakreslili s náhradou, tyto události jsou nezávislé a platí pravidlo multiplikace.
Pravděpodobnost nakreslení krále pro první kartu je 1/13. Pravděpodobnost nakreslení krále na druhém losování je 1/13. Důvodem je to, že nahrazujeme krále, který jsme čerpali poprvé. Protože tyto události jsou nezávislé, používáme multiplikační pravidlo, abychom viděli, že pravděpodobnost kreslení dvou králů je dána následujícím produktem 1/13 x 1/13 = 1/169.
Pokud bychom nenahradili krále, měli bychom jinou situaci, ve které by události nebyly nezávislé. Pravděpodobnost nakreslení krále na druhou kartu by byla ovlivněna výsledkem první karty.