Očekávaná hodnota binomického rozdělení

Binomické rozdělení jsou důležitou třídou diskrétních rozdělení pravděpodobnosti. Tyto typy distribucí jsou série n nezávislé Bernoulliho pokusy, z nichž každá má konstantní pravděpodobnost str úspěchu. Stejně jako v případě jakéhokoli rozdělení pravděpodobnosti bychom chtěli vědět, co to znamená. Z tohoto důvodu se opravdu ptáme: „Co je očekávaná hodnota binomického rozdělení? “

Pokud pečlivě přemýšlíme o a binomické rozdělení, není obtížné určit, že se očekává hodnota tohoto typu rozdělení pravděpodobnosti je np. Pro několik rychlých příkladů toho zvažte následující:

• Pokud hodíme 100 mincí, a X je počet hlav, očekávaná hodnota X je 50 = (1/2) 100.
• Pokud provádíme test s více možnostmi výběru s 20 otázkami a každá otázka má čtyři možnosti (pouze jedna z což je správné), pak by náhodné hádání znamenalo, že bychom očekávali pouze (1/4) 20 = 5 otázek opravit.

V obou těchto příkladech to vidíme E [X] = n s. Dva případy nestačí k závěru. Přestože je intuice dobrým nástrojem, který nás vede, nestačí utvářet matematický argument a dokázat, že je něco pravdivé. Jak konečně dokážeme, že očekávaná hodnota této distribuce je skutečně

Z definice očekávané hodnoty a funkce pravděpodobnosti hmotnosti pro binomické rozdělení z n zkoušky pravděpodobnosti úspěchu str, můžeme ukázat, že naše intuice se shoduje s plody matematické přísnosti. V naší práci musíme být opatrní a svižní při manipulaci s binomickým koeficientem, který je dán vzorcem pro kombinace.

Začneme pomocí vzorce:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) p^X(1-p)^{n - x}.

Od každého období sumace se násobí X, hodnota výrazu odpovídající x = 0 bude 0, takže můžeme skutečně napsat:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Manipulací s faktoriály zapojenými do výrazu pro C (n, x) můžeme přepsat

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

To je pravda, protože:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Z toho vyplývá, že:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) str ^X (1 - p) ^{n - x} .

Vyděláváme n a jeden str z výše uvedeného výrazu:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) str ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

Změna proměnných r = x - 1 nám dává:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r), str ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Podle binomického vzorce (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} výše uvedený součet lze přepsat:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

Výše uvedený argument nás vedl dlouhou cestu. Od začátku pouze definicí očekávané hodnoty a pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro binomické rozdělení jsme dokázali, co nám řekla naše intuice. Očekávaná hodnota binomické rozděleníB (n, p) je n str.