Jak používat pravidlo komplementu ve statistice

Ve statistice je pravidlo komplementu věta, která poskytuje spojení mezi pravděpodobností událost a pravděpodobnost doplnění události takovým způsobem, že pokud známe jednu z těchto pravděpodobností, pak automaticky poznáme druhou.

Pravidlo doplňku se hodí, když počítáme určité pravděpodobnosti. Pravděpodobnost události je mnohokrát chaotická nebo složitá na výpočet, zatímco pravděpodobnost jejího doplnění je mnohem jednodušší.

Než uvidíme, jak se používá pravidlo komplementu, definujeme konkrétně, co toto pravidlo je. Začneme trochu notací. Doplněk akce A, skládající se ze všech prvků v ukázkový prostorS které nejsou prvky sady A, je označen AC.

Pravidlo komplementu je uvedeno jako „součet pravděpodobnosti události a pravděpodobnost jejího doplnění je rovna 1,“ vyjádřeno následující rovnicí:

P (A^C) = 1 - P (A)

Následující příklad ukazuje, jak používat pravidlo doplňku. Bude zřejmé, že tato věta urychlí a zjednoduší výpočty pravděpodobnosti.

Předpokládejme, že převrátíme osm spravedlivých mincí - jaká je pravděpodobnost, že budeme mít alespoň jednu hlavu? Jedním ze způsobů, jak to zjistit, je vypočítat následující pravděpodobnosti. Jmenovatel každého je vysvětlen skutečností, že jsou 2⁸ = 256 výsledků, každý z nich stejně pravděpodobný. Všechny následující nás vzorec pro kombinace:

• Pravděpodobnost převrácení přesně jedné hlavy je C (8,1) / 256 = 8/256.
• Pravděpodobnost překlopení přesně dvou hlav je C (8,2) / 256 = 28/256.
• Pravděpodobnost překlopení přesně tří hlav je C (8,3) / 256 = 56/256.
• Pravděpodobnost překlopení přesně čtyř hlav je C (8,4) / 256 = 70/256.
• Pravděpodobnost překlopení přesně pěti hlav je C (8,5) / 256 = 56/256.
• Pravděpodobnost překlopení přesně šesti hlav je C (8,6) / 256 = 28/256.
• Pravděpodobnost překlopení přesně sedmi hlav je C (8,7) / 256 = 8/256.
• Pravděpodobnost překlopení přesně osmi hlav je C (8,8) / 256 = 1/256.

Tyto jsou vzájemně se vylučující události, takže sčítáme pravděpodobnosti společně pomocí jedné vhodné pravidlo přidání. To znamená, že pravděpodobnost, že máme alespoň jednu hlavu, je 255 z 256.

Nyní vypočítáme stejnou pravděpodobnost pomocí pravidla doplnění. Doplňkem akce „Převrátíme alespoň jednu hlavu“ je událost „Nejsou žádné hlavy.“ Existuje jeden způsob, jak k tomu dojít, což nám dává pravděpodobnost 1/256. Používáme pravidlo doplňku a zjistíme, že naše pravděpodobnost je jedna mínus jedna z 256, což se rovná 255 z 256.

Tento příklad ukazuje nejen užitečnost, ale také sílu pravidla doplňování. Ačkoli s naším původním výpočtem není nic špatného, ​​bylo to celkem zapojeno a vyžadovalo více kroků. Naproti tomu, když jsme použili pravidlo komplementu pro tento problém, nebylo tolik kroků, kde by výpočty mohly být špatné.