Co jsou to axiomy pravděpodobnosti?

Jednou z strategií v matematice je začít několika výroky a poté z těchto výroků vybudovat více matematiky. Počáteční příkazy jsou známé jako axiomy. Axiom je obvykle něco, co je matematicky zřejmé. Z relativně krátkého seznamu axiomů se deduktivní logika používá k prokázání jiných tvrzení, nazývaných věty nebo tvrzení.

Oblast matematiky známá jako pravděpodobnost se neliší. Pravděpodobnost může být snížena na tři axiomy. Poprvé to provedl matematik Andrei Kolmogorov. Hrst axiomů, které jsou základní pravděpodobností, lze použít k odvození všech druhy výsledků. Ale jaké jsou tyto axiomy pravděpodobnosti?

Abychom pochopili axiomy pravděpodobnosti, musíme nejprve projednat některé základní definice. Předpokládáme, že máme řadu výsledků nazývaných vzorkový prostor S. Tento ukázkový prostor lze považovat za univerzální soubor situace, kterou studujeme. Ukázkový prostor se skládá z podmnožin zvaných události E₁, E₂,..., E_n.

Předpokládáme také, že existuje způsob, jak přiřadit pravděpodobnost jakékoli události

První axiom pravděpodobnosti je, že pravděpodobnost jakékoli události je nezáporné reálné číslo. To znamená, že nejmenší pravděpodobnost, jakou kdy může být, je nula a že nemůže být nekonečná. Sada čísel, která můžeme použít, jsou reálná čísla. Toto se týká jak racionálních čísel, také známých jako zlomky, tak iracionálních čísel, která nelze psát jako zlomky.

Jedna věc k poznámce je, že tento axiom neříká nic o tom, jak velká je pravděpodobnost události. Axiom vylučuje možnost negativních pravděpodobností. Odráží to názor, že nejmenší pravděpodobnost vyhrazená pro nemožné události je nulová.

Druhá axiom pravděpodobnosti je, že pravděpodobnost celého prostoru vzorku je jedna. Symbolicky píšeme P(S) = 1. Implicitní v tomto axiomu je představa, že prostor vzorku je pro náš pravděpodobnostní experiment vše možné a že mimo prostor vzorku nejsou žádné události.

Tento axiom sám o sobě nestanovuje horní hranici pravděpodobnosti událostí, které nejsou celým vzorkovým prostorem. Odráží to, že něco s absolutní jistotou má pravděpodobnost 100%.

Třetí axiom pravděpodobnosti se zabývá vzájemně se vylučujícími událostmi. Li E₁ a E₂ jsou vzájemně se vylučující, což znamená, že mají prázdnou křižovatku a pomocí U označujeme spojení P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

Axiom ve skutečnosti pokrývá situaci několika (i nespočetně nekonečnými) událostmi, z nichž každá dvojice se vzájemně vylučuje. Dokud k tomu dojde, pravděpodobnost unie událostí je stejný jako součet pravděpodobností:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

I když se tento třetí axiom nemusí zdát tak užitečný, uvidíme, že v kombinaci s dalšími dvěma axiomy je to opravdu moc silné.

Tři axiomy stanovily horní hranici pravděpodobnosti jakékoli události. Označujeme doplněk akce E podle E^C. Z teorie množin E a E^C mají prázdnou křižovatku a vzájemně se vylučují. Dále E U E^C = S, celý prostor vzorku.

Tato fakta v kombinaci s axiomy nám dávají:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

Uspořádáme výše uvedenou rovnici a vidíme to P(E) = 1 - P(E^C). Protože víme, že pravděpodobnosti musí být nezáporné, máme nyní, že horní mez pravděpodobnosti jakékoli události je 1.

Opětným uspořádáním vzorce máme P(E^C) = 1 - P(E). Z tohoto vzorce můžeme také odvodit, že pravděpodobnost, že se událost nevyskytne, je jedna mínus pravděpodobnost, že k ní dojde.

Výše uvedená rovnice nám také poskytuje způsob, jak vypočítat pravděpodobnost nemožné události, označenou prázdnou množinou. Chcete-li to vidět, připomeňte, že prázdná sada je v tomto případě doplňkem univerzální sady S^C. Protože 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), algebra máme P(S^C) = 0.

Výše je jen několik příkladů vlastností, které lze prokázat přímo z axiomů. Pravděpodobnost je mnohem více. Ale všechny tyto věty jsou logickými rozšířeními ze tří axiomů pravděpodobnosti.