podmíněná pravděpodobnost Událost je pravděpodobnost, že událostA dojde k dané další události B již došlo. Tento typ pravděpodobnosti se vypočítá omezením ukázkový prostor se kterým pracujeme pouze na setu B.
Vzorec pro podmíněnou pravděpodobnost lze přepsat pomocí některé základní algebry. Místo vzorce:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),
vynásobíme obě strany P (B) a získat ekvivalentní vzorec:
P (A | B) X P (B) = P (A ∩ B).
Tento vzorec pak můžeme použít k nalezení pravděpodobnosti výskytu dvou událostí pomocí podmíněné pravděpodobnosti.
Použití vzorce
Tato verze vzorce je nejužitečnější, když známe podmíněnou pravděpodobnost A daný B stejně jako pravděpodobnost události B. Pokud je tomu tak, můžeme vypočítat pravděpodobnost průsečík z A daný B pouhým vynásobením dvou dalších pravděpodobností. Pravděpodobnost průniku dvou událostí je důležité číslo, protože je to pravděpodobnost, že k oběma událostem dojde.
Příklady
Pro náš první příklad předpokládejme, že známe následující hodnoty pravděpodobnosti: P (A | B) = 0,8 a P (B) = 0,5. Pravděpodobnost P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.
Zatímco výše uvedený příklad ukazuje, jak vzorec funguje, nemusí to být nejsvětelnější, jak užitečný je výše uvedený vzorec. Budeme uvažovat o dalším příkladu. Existuje střední škola se 400 studenty, z toho 120 mužů a 280 žen. 60% mužů je v současné době zapsáno do kurzu matematiky. Ze žen je v současnosti 80% zapsáno do kurzu matematiky. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná studentka je žena, která je zapsána do kurzu matematiky?
Tady jsme to nechali F označují událost „Vybraný student je žena“ a M událost „Vybraný student je zapsán do kurzu matematiky.“ Musíme určit pravděpodobnost průniku těchto dvou událostí, nebo P (M ∩ F).
Výše uvedený vzorec nám to ukazuje P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). Pravděpodobnost, že je žena vybrána, je P (F) = 280/400 = 70%. Podmíněná pravděpodobnost, že vybraný student je zapsán do kurzu matematiky, vzhledem k tomu, že byla vybrána žena, je P (M | F) = 80%. Vynásobíme tyto pravděpodobnosti dohromady a vidíme, že máme 80% x 70% = 56% pravděpodobnost výběru studentky, která je zapsána do kurzu matematiky.
Test nezávislosti
Výše uvedený vzorec týkající se podmíněné pravděpodobnosti a pravděpodobnosti průniku nám dává snadný způsob, jak zjistit, zda se jedná o dvě nezávislé události. Od událostí A a B jsou nezávislí, pokud P (A | B) = P (A), z výše uvedeného vzorce vyplývá, že události A a B jsou nezávislé, pouze pokud:
P (A) x P (B) = P (A ∩ B)
Takže pokud to víme P (A) = 0.5, P (B) = 0,6 a P (A ∩ B) = 0,2, aniž bychom věděli cokoli jiného, můžeme určit, že tyto události nejsou nezávislé. To víme, protože P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Toto není pravděpodobnost průniku A a B.