V naší matematické kariéře se dost brzy naučíme, že faktoriální, definované pro nezáporná celá čísla n, je způsob, jak popsat opakované násobení. Označuje se pomocí vykřičníku. Například:
Jedinou výjimkou z této definice je nulový faktoriál, kde 0! = 1. Když se podíváme na tyto hodnoty faktoriálu, mohli bychom se spárovat n s n!. To by nám dalo body (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) atd. na.
Definice funkce gama je velmi složitá. Jedná se o komplikovaně vypadající vzorec, který vypadá velmi podivně. Funkce gama používá ve své definici nějaký počet, stejně jako číslo E Na rozdíl od známějších funkcí, jako jsou polynomy nebo trigonometrické funkce, je funkce gama definována jako nesprávný integrál jiné funkce.
Definici funkce gama lze použít k prokázání řady identit. Jedním z nejdůležitějších z nich je, že Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Můžeme to použít a skutečnost, že Γ (1) = 1 z přímého výpočtu:
Do funkce gama však nemusíme zadávat pouze celá čísla. Jakékoli komplexní číslo, které není záporné celé číslo, je v doméně gama funkce. To znamená, že faktoriál můžeme rozšířit i na jiná čísla než nezáporná celá čísla. Z těchto hodnot je jedním z nejznámějších (a překvapivých) výsledků, že Γ (1/2) = √π.
Dalším výsledkem, který je podobný poslednímu je, že Γ (1/2) = -2π. Ve skutečnosti funkce gama vždy vytváří výstup násobku druhé odmocniny pí, když je do funkce vložen lichý násobek 1/2.
Funkce gama se projevuje v mnoha zdánlivě nesouvisejících oborech matematiky. Zejména zobecnění faktoriálu poskytované funkcí gama je užitečné v některých problémech kombinatoriky a pravděpodobnosti. Nějaký rozdělení pravděpodobnosti jsou definovány přímo z hlediska funkce gama. Například distribuce gama je uvedena jako funkce gama. Toto rozdělení lze použít k modelování časového intervalu mezi zemětřeseními. Studentova distribuce, které lze použít pro data, u kterých máme neznámou standardní směrodatnou odchylku populace, a rozdělení chi-kvadrát je také definováno z hlediska funkce gama.