Pravděpodobnost náhodného výběru prvočísla

Teorie čísel je odvětví matematika to se týká celé řady. Omezujeme se poněkud tím, že to děláme, protože přímo nezkoumáme jiná čísla, jako jsou iracionálové. Nicméně, jiné typy reálná čísla Jsou používány. Kromě toho má předmět pravděpodobnosti mnoho souvislostí a průniků s teorií čísel. Jedno z těchto spojení souvisí s distribucí prvočísla. Konkrétněji se můžeme ptát, jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané celé číslo od 1 do X je prvočíslo?

Stejně jako u jakéhokoli matematického problému je důležité pochopit nejen to, jaké předpoklady jsou vytvářeny, ale také definice všech klíčových pojmů v problému. Pro tento problém zvažujeme kladná celá čísla, což znamená celá čísla 1, 2, 3,. .. až na nějaké číslo X. Náhodně vybereme jedno z těchto čísel, což znamená, že všechny X z nich je stejně pravděpodobné, že budou vybrány.

Snažíme se určit pravděpodobnost, že bude vybráno prvočíslo. Musíme tedy pochopit definici prvočísla. Prvočíslo je kladné celé číslo, které má přesně dva faktory. To znamená, že jedinými děliteli prvočísel jsou jedno a samotné číslo. 2,3 a 5 jsou tedy prvočísla, ale 4, 8 a 12 nejsou prvočísla. Bereme na vědomí, že protože v prvočísle musí být dva faktory, číslo 1 je

Řešení tohoto problému je jednoduché pro nízká čísla X. Vše, co musíme udělat, je jednoduše spočítat počty prvočísel, které jsou menší nebo rovno X. Počet prvočísel rozdělíme na méně nebo rovno X podle čísla X.

Například, abychom zjistili pravděpodobnost, že je prvočíslo vybráno od 1 do 10, vyžaduje, abychom rozdělili počet prvočísel od 1 do 10 číslem 10. Čísla 2, 3, 5, 7 jsou prvočísla, takže pravděpodobnost, že je zvolen prvočíslo, je 4/10 = 40%.

Pravděpodobnost, že prvočíslo je vybráno od 1 do 50, lze nalézt podobným způsobem. Prvočísla, která jsou menší než 50, jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 a 47. K dispozici je 15 prvočísel menších nebo rovných 50. Pravděpodobnost náhodného výběru je tedy 15/50 = 30%.

Tento proces lze provést jednoduše spočítáním prvočísel, pokud máme seznam prvočísel. Například existuje 25 prvočísel menších nebo rovných 100. (Tedy pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo od 1 do 100 je nejvyšší, je 25/100 = 25%.) Pokud však nemáme seznam prvočísel, mohlo by to být výpočetně náročné na určení množiny prvočísel, která jsou menší nebo stejná jako daná čísla číslo X.

Pokud nemáte počet prvočísel, které jsou menší nebo rovno X, existuje alternativní způsob, jak tento problém vyřešit. Řešení zahrnuje matematický výsledek známý jako věta o prvočísle. Toto je prohlášení o celkové distribuci prvočísel a může být použito k přibližné pravděpodobnosti, kterou se snažíme určit.

Veta prvočísla říká, že existuje přibližně X / ln (X) prvočísla, která jsou menší nebo rovna X. Zde ln (X) označuje přirozený logaritmus Xnebo jinými slovy logaritmus se základnou číslo E. Jako hodnota X zvyšuje aproximaci se zlepšuje v tom smyslu, že vidíme pokles relativní chyby mezi počtem prvočísel menší než X a výraz X / ln (X).

Můžeme použít výsledek věty prvočísel k vyřešení problému, který se snažíme řešit. Podle věty prvočísla víme, že existuje přibližně X / ln (X) prvočísla, která jsou menší nebo rovna X. Kromě toho existuje celkem X kladná celá čísla menší nebo rovno X. Pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo v tomto rozsahu je nejvyšší, je (X / ln (X) ) /X = 1 / ln (X).

Nyní můžeme tento výsledek použít k přibližné pravděpodobnosti náhodného výběru prvočísla z prvního miliarda celá čísla. Vypočítáme přirozený logaritmus jedné miliardy a vidíme, že ln (1 000 000 000) je přibližně 20,7 a 1 / ln (1 000 000 000) je přibližně 0,0483. Máme tedy asi 4,83% pravděpodobnost náhodného výběru prvočísla z prvních miliard celých čísel.