Jak používat v matematice matematiku

Když čtete o statistice a matematice, jedna věta, která se pravidelně zobrazuje, je „pouze a jen tehdy“. Tato věta se objevuje zejména v prohlášeních o matematických větách nebo důkazech. Co přesně to ale znamená?

Abychom pochopili „pouze a jen tehdy“, musíme nejprve vědět, co se myslí podmíněným tvrzením. Podmíněný příkaz je ten, který je tvořen dvěma dalšími příkazy, které označíme P a Q. Abychom vytvořili podmíněné prohlášení, mohli bychom říci „pokud P pak Q.“

Příklady tohoto tvrzení jsou následující:

• Pokud venku prší, tak si vezmu deštník s sebou na procházku.
• Pokud budete tvrdě studovat, získáte A.
• Li n je tedy dělitelná 4 n je dělitelná 2.

K dalším podmíněným příkazům se vztahují další tři příkazy. Nazývají se konverzovat, inverzní a kontrapositive. Tato tvrzení vytváříme změnou pořadí P a Q z původního podmíněného a vložením slova „ne“ pro inverzní a kontrapositivní.

Potřebujeme pouze zvážit tu konverzaci. Toto tvrzení je získáno z originálu slovy „jestliže Q pak P.“ Předpokládejme, že začneme s podmíněným „pokud venku prší, pak já vezmi si deštník se mnou na procházku. “ Opakem tohoto tvrzení je „pokud si vezmu deštník s sebou na procházku, pak prší mimo."

Tento příklad musíme vzít v úvahu, abychom si uvědomili, že původní podmíněný není logicky stejný jako jeho obrácený. Zmatek těchto dvou prohlášení je známý jako chyba převodu. Jeden by mohl vzít deštník na procházku, i když to nemusí pršet venku.

Pro další příklad považujeme podmínku „Pokud je číslo dělitelné 4, pak dělitelné 2.“ Toto tvrzení je zjevně pravdivé. Avšak obrácení tohoto tvrzení „Pokud je číslo dělitelné 2, pak dělitelné 4“ je nepravdivé. Stačí se podívat na číslo, jako je 6. Ačkoli 2 toto číslo dělí, 4 ne. Zatímco původní prohlášení je pravdivé, jeho obrácení není.

To nás přivádí k dvoustrannému prohlášení, které je také známé jako prohlášení „pokud a jen tehdy“. Některá podmíněná prohlášení mají také konverze, které jsou pravdivé. V tomto případě můžeme vytvořit to, co se nazývá dvoustranné prohlášení. Dvoustranné prohlášení má podobu:

"Pokud P pak Q, a pokud Q pak P."

Od té doby konstrukce je poněkud trapné, zvláště když P a Q jsou jejich vlastní logické příkazy, zjednodušujeme výrok biconditional pomocí fráze "jen a jen tehdy." Spíše než řekneme „pokud P pak Q, a pokud Q pak P“, místo toho řekneme „P, pokud a pouze pokud Q.“ Tato konstrukce některé eliminuje nadbytek.

Příklad fráze „pouze a jen tehdy“, která zahrnuje statistiku, nehledejte dále než skutečnost týkající se standardní směrodatné odchylky. Vzorová směrodatná odchylka sady dat je rovná nula pokud a pouze pokud jsou všechny hodnoty dat identické.

Toto dvoustranné prohlášení rozdělujeme na podmíněné a jeho obrácení. Pak vidíme, že toto tvrzení znamená obě následující:

• Pokud je standardní odchylka nula, pak jsou všechny hodnoty dat identické.
• Pokud jsou všechny hodnoty dat identické, pak se směrodatná odchylka rovná nule.

Pokud se pokoušíme prokázat biconditional, pak to většinou skončíme rozdělením. Díky tomu má náš důkaz dvě části. Jedna část, kterou dokážeme, je „pokud P pak Q.“ Druhou částí důkazu, který potřebujeme, je „pokud Q pak P.“

Biconditional prohlášení se vztahují k podmínkám, které jsou oba nezbytné a dostatečné. Zvažte výrok „pokud je dnes velikonoční, pak zítra je pondělí. “ Dnes je Velikonoce dostačující, aby zítra bylo pondělí, není to však nutné. Dnes by mohla být jakákoli neděle kromě Velikonoc a zítra bude ještě pondělí.

Fráze „pouze a jen tehdy“ se v matematickém psaní používá dostatečně často, že má svou vlastní zkratku. Někdy se dvoustranný výraz ve větě „jen a jen tehdy“ zkracuje na „iff“. Tvrzení „P a pouze tehdy, pokud Q“ se stává „P iff Q.“