Momentové funkce náhodných proměnných

Jeden způsob výpočtu průměru a rozptylu a rozdělení pravděpodobnosti je najít očekávané hodnoty náhodných proměnných X a X². Používáme notaci E(X) a E(X²) k označení těchto očekávaných hodnot. Obecně je obtížné vypočítat E(X) a E(X²) přímo. K vyřešení této obtížnosti používáme pokročilejší matematickou teorii a počet. Konečným výsledkem je něco, co usnadňuje naše výpočty.

Strategií tohoto problému je definování nové funkce, nové proměnné t to se nazývá funkce generující moment. Tato funkce nám umožňuje vypočítat momenty pouhým odvozením derivátů.

Než definujeme funkci generování momentu, začneme nastavením fáze pomocí notace a definic. Nechali jsme to X být a diskrétní náhodná proměnná. Tato náhodná proměnná má funkci pravděpodobnostní hmotnosti F(X). Vzorový prostor, se kterým pracujeme, bude označen S.

Spíše než výpočet očekávané hodnoty X, chceme vypočítat očekávanou hodnotu exponenciální funkce související s X. Pokud je pozitivní reálné číslor takový, že E(E^tX) existuje a je konečný pro všechny t v intervalu [-r, r], pak můžeme definovat funkci generování momentu X.

Funkce generování momentu je očekávaná hodnota výše exponenciální funkce. Jinými slovy, říkáme, že funkce generující moment X darováno:

M(t) = E(E^tX)

Tato očekávaná hodnota je vzorec Σ E^txF (X), kde je součet převzat všechny X v ukázkový prostorS. To může být konečná nebo nekonečná suma v závislosti na použitém prostoru vzorku.

Funkce generování momentů má mnoho funkcí, které se připojují k jiným tématům v pravděpodobnostní a matematické statistice. Mezi jeho nejdůležitější vlastnosti patří:

• Koeficient E^tb je to pravděpodobnost X = b.
• Funkce generování momentu mají jedinečnou vlastnost. Pokud se funkce generující moment pro dvě náhodné proměnné navzájem shodují, musí být funkce pravděpodobnostní hmotnosti stejné. Jinými slovy, náhodné proměnné popisují stejné rozdělení pravděpodobnosti.
• Funkce generování momentů lze použít k výpočtu momentů X.

Poslední položka ve výše uvedeném seznamu vysvětluje název funkcí generování momentů a také jejich užitečnost. Některá pokročilá matematika říká, že za podmínek, které jsme stanovili, derivát jakéhokoli pořadí funkce M (t) existuje, kdy t = 0. Dále v tomto případě můžeme změnit pořadí sčítání a diferenciace s ohledem na t získat následující vzorce (všechny součty přesahují hodnoty X ve vzorkovém prostoru S):

• M’(t) = Σ xe^txF (X)
• M’’(t) = Σ X²E^txF (X)
• M’’’(t) = Σ X³E^txF (X)
• M⁽ⁿ⁾’(t) = Σ XⁿE^txF (X)

Pokud se vydáme t = 0 ve výše uvedených vzorcích, pak E^tx termín se stává E⁰ = 1. Takto získáme vzorce pro momenty náhodné proměnné X:

• M’(0) = E(X)
• M’’(0) = E(X²)
• M’’’(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

To znamená, že pokud funkce generování momentu existuje pro konkrétní náhodnou proměnnou, můžeme najít její průměr a její rozptyl v derivátech funkce generování momentu. Průměr je M'(0) a odchylka je M’’(0) – [M’(0)]².

Stručně řečeno, museli jsme se brodit do nějaké velmi výkonné matematiky, takže některé věci byly prošlapány. Ačkoli pro výše uvedené musíme použít počet, nakonec je naše matematická práce obvykle jednodušší než výpočtem momentů přímo z definice.