Použití významných čísel a vědeckého zápisu

Při měření a vědec může dosáhnout pouze určité úrovně přesnosti, omezené používanými nástroji nebo fyzickou povahou situace. Nejviditelnějším příkladem je měření vzdálenosti.

Zvažte, co se stane, když změříte vzdálenost objektu, který se pohybuje pomocí páskové míry (v metrických jednotkách). Měrka pásky je pravděpodobně rozdělena na nejmenší jednotky milimetru. Proto neexistuje způsob, jak měřit s přesností větší než milimetr. Pokud se tedy objekt pohybuje 57,215493 milimetrů, můžeme tedy s jistotou říci, že se pohyboval 57 milimetrů (nebo 5,7 centimetrů nebo 0,057 metrů, v závislosti na preferenci v této situaci).

Obecně je tato úroveň zaokrouhlování v pořádku. Získání přesného pohybu objektu normální velikosti až na milimetr ve skutečnosti by to byl docela působivý úspěch. Představte si, že se snaží měřit pohyb automobilu na milimetr a uvidíte, že to obecně není nutné. V případech, kdy je taková přesnost nezbytná, budete používat nástroje, které jsou mnohem sofistikovanější než páska.

Počet smysluplných čísel v měření se nazývá číslo

Zvažte číslo 5 200.

Pokud není uvedeno jinak, obecně se předpokládá, že významné jsou pouze dvě nenulové číslice. Jinými slovy se předpokládá, že toto číslo bylo zaoblený na nejbližší stovku.

Pokud by však bylo číslo zapsáno 5 200,0, mělo by pět významných čísel. Desetinná tečka a následující nula se přidají, pouze pokud měření je přesný na tuto úroveň.

Podobně by číslo 2.30 mělo tři významná čísla, protože nula na konci je známkou toho, že vědec provádějící měření tak učinil při této úrovni přesnosti.

Některé učebnice také zavedly konvenci, že desetinná tečka na konci celého čísla označuje také významná čísla. Takže 800. bude mít tři významná čísla, zatímco 800 má pouze jednu významnou hodnotu. Opět je to poněkud proměnná v závislosti na učebnici.

Níže uvádíme několik příkladů různých čísel významných čísel, které pomohou tento koncept zpevnit:

Jedna významná postava
4
900
0.00002
Dvě významná čísla
3.7
0.0059
68,000
5.0
Tři významná čísla
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (v některých učebnicích)

Vědecké údaje poskytují pro matematiku jiná pravidla, než jaká jsou uvedena ve vaší třídě matematiky. Klíčem k použití významných čísel je zajistit, aby během výpočtu byla zachována stejná úroveň přesnosti. V matematice si všechna čísla ponecháte před svým výsledkem, zatímco ve vědecké práci často obíháte na základě významných čísel.

Při přidávání nebo odečítání vědeckých údajů je důležitá pouze poslední číslice (číslice nejvzdálenější doprava). Předpokládejme například, že přidáváme tři různé vzdálenosti:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

První termín v problému sčítání má čtyři významná čísla, druhý má osm a třetí má pouze dvě. Přesnost je v tomto případě určena nejkratší desetinnou čárkou. Provedete tedy výpočet, ale namísto 15.2699834 bude výsledek 15,3, protože zaokrouhlí se na desetiny (první místo za desetinnou čárkou), protože zatímco dva z vaše Měření jsou přesnější, třetí vám nemůže říct nic víc než desetiny, takže výsledek tohoto problému s přidáním může být také tak přesný.

Vaše konečná odpověď má v tomto případě tři významná čísla žádný z vašich startovních čísel. To může být pro začátečníky velmi matoucí a je důležité věnovat pozornost této vlastnosti sčítání a odčítání.

Na druhé straně při množení nebo dělení vědeckých údajů záleží na počtu významných čísel. Násobení významných čísel vždy povede k řešení, které má stejné významné hodnoty jako nejmenší významné hodnoty, se kterými jste začínali. Takže na příkladu:

5,638 x 3,1

První faktor má čtyři významná čísla a druhý faktor má dvě významná čísla. Vaše řešení proto skončí dvěma významnými čísly. V tomto případě to bude 17 místo 17,4778. Provedete výpočet pak zaokrouhlte své řešení na správný počet významných čísel. Extra přesnost v násobení nebude bolet, prostě nechcete dávat falešnou úroveň přesnosti ve vašem konečném řešení.

Fyzika pojednává o sférách vesmíru od velikosti menší než proton po velikost vesmíru. Nakonec se zabýváte některými velmi velkými a velmi malými čísly. Obecně platí, že pouze několik z těchto čísel je významných. Nikdo nebude (ani schopen) měřit šířku vesmíru na nejbližší milimetr.

Poznámka

Aby vědci mohli snadno manipulovat s těmito čísly, používají je věděcký zápis. Jsou uvedena významná čísla, která se vynásobí deseti potřebnou silou. Rychlost světla je psána jako: [blackquote shade = no] 2.997925 x 108 m / s

Existuje 7 významných čísel, což je mnohem lepší než psaní 299 792 500 m / s.

Poznámka

Tento zápis je velmi užitečný pro násobení. Postupujte podle výše popsaných pravidel pro vynásobení významných čísel a udržujte nejmenší počet významných čísel, a pak vynásobíte velikost, která následuje aditivní pravidlo exponenti. Následující příklad by vám měl pomoci vizualizovat:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Produkt má pouze dvě významná čísla a jejich velikost je 107, protože 103 x 104 = 107

Přidání vědeckého zápisu může být v závislosti na situaci velmi snadné nebo velmi složité. Pokud jsou podmínky stejného řádu (tj. 4 400 000 x 105 a 13,5 x 105), postupujte podle diskutovaných pravidel přidávání dříve, udržujte nejvyšší hodnotu místa jako místo zaokrouhlování a udržujte stejnou velikost, jako v následujícím příklad:

4 400 000 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Pokud je však velikost řádů jiná, musíte trochu pracovat, abyste dosáhli stejné velikosti jako v následující příklad, kde jeden termín je na hodnotě 105 a druhý termín je na hodnotě 105 106:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
nebo
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Obě tato řešení jsou stejná a výsledkem je 9 700 000 jako odpověď.

Podobně, velmi malá čísla jsou často psána ve vědecké notaci také, ačkoli s negativním exponentem na velikosti místo toho pozitivního exponenta. Hmotnost elektronu je:

9,10939 x 10-31 kg

Jednalo by se o nulu, následovanou desetinnou čárkou, následovanou 30 nulami, pak sérií 6 významných čísel. Nikdo to nechce napsat, takže vědecký zápis je náš přítel. Všechna výše uvedená pravidla jsou stejná, bez ohledu na to, zda je exponent pozitivní nebo negativní.

Významná čísla jsou základním prostředkem, který vědci používají k zajištění přesnosti čísel, která používají. Zahrnutý proces zaokrouhlování však do čísel stále zavádí míru chyb a ve výpočtech na vysoké úrovni existují další statistické metody, které se používají. Prakticky pro veškerou fyziku, která bude probíhat ve středních a vysokých školách, správné udržení významných čísel však bude dostatečné k udržení požadované úrovně přesnost.

Významné postavy mohou být významným kamenem úrazu, když se poprvé představí studentům, protože mění některá základní matematická pravidla, která se již roky vyučují. Například s významnými čísly, například 4 x 12 = 50.

Podobně může představovat problém i zavedení vědecké notace pro studenty, kteří nemusí být plně spokojeni s exponenty nebo exponenciálními pravidly. Mějte na paměti, že se jedná o nástroje, které se každý, kdo studuje vědu, v určitém okamžiku musí naučit a pravidla jsou ve skutečnosti velmi základní. Problémem je téměř úplné zapamatování si, které pravidlo se v tu dobu použije. Kdy přidám exponenty a kdy je odečtím? Kdy posunu desetinnou čárku doleva a kdy doprava? Pokud tyto úkoly budete i nadále praktikovat, budete v nich lépe, dokud se nestanou druhou přirozeností.

Konečně, udržování správných jednotek může být složité. Pamatujte, že nemůžete přímo přidat centimetry a metrů, ale musí je nejprve převést do stejné stupnice. Toto je běžná chyba pro začátečníky, ale stejně jako zbytek je to, co lze velmi snadno překonat zpomalením, opatrností a přemýšlením o tom, co děláte.