Důležitou součástí inferenční statistiky je testování hypotéz. Stejně jako u učení všeho, co souvisí s matematikou, je užitečné pracovat na několika příkladech. Následující příklad zkoumá příklad testu hypotéz a vypočítává pravděpodobnost chyby typu I a II.
Budeme předpokládat, že platí jednoduché podmínky. Konkrétněji budeme předpokládat, že máme jednoduchý náhodný vzorek z populace, která je buď normálně distribuované nebo má dostatečně velkou velikost vzorku, kterou můžeme použít teorém centrálního limitu. Budeme také předpokládat, že známe standardní směrodatnou odchylku populace.
Prohlášení problému
Pytel bramborových lupínků je balen podle hmotnosti. Celkem je nakoupeno, zváženo devět sáčků a průměrná hmotnost těchto devíti sáčků je 10,5 unce. Předpokládejme, že standardní odchylka populace všech těchto sáčků čipů je 0,6 unce. Uvedená hmotnost na všech baleních je 11 uncí. Nastavte úroveň významnosti na 0,01.
Otázka 1
Podporuje vzorek hypotézu, že skutečná populace znamená, že je menší než 11 uncí?
Máme test s nízkým ocasem. To je vidět v prohlášení našich nulové a alternativní hypotézy:
- H0: μ=11.
- HA: μ < 11.
Statistika testu se vypočítá podle vzorce
z = (X-bar - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Nyní musíme zjistit, jak pravděpodobná je tato hodnota z je jen náhodou. Pomocí tabulky z-scores vidíme, že pravděpodobnost, že z je menší nebo rovno -2,5 je 0,0062. Protože tato p-hodnota je menší než úroveň významnosti, odmítáme nulovou hypotézu a přijímáme alternativní hypotézu. Průměrná hmotnost všech sáčků čipů je menší než 11 uncí.
otázka 2
Jaká je pravděpodobnost chyby typu I?
K chybě typu I dojde, když odmítneme neplatnou hypotézu, která je pravdivá. Pravděpodobnost takové chyby se rovná úrovni významnosti. V tomto případě máme hladinu významnosti rovnou 0,01, což je pravděpodobnost chyby typu I.
Otázka 3
Pokud je průměrná hodnota populace skutečně 10,75 uncí, jaká je pravděpodobnost chyby typu II?
Začneme přeformulováním našeho rozhodovacího pravidla, pokud jde o průměr vzorku. Pro hladinu významnosti 0,01 odmítáme nulovou hypotézu, když z < -2.33. Vložením této hodnoty do vzorce pro statistiku testu odmítneme nulovou hypotézu, když
(X-bar-11) / (0,6 / ~ 9)
Rovněž odmítáme nulovou hypotézu, když 11 - 2,33 (0,2)> X-bar, nebo kdy X-bar je menší než 10,534. Nepodařilo se nám odmítnout nulovou hypotézu X-bar větší nebo rovný 10,534. Pokud je skutečná průměrná populace 10,75, pak pravděpodobnost X-bar je větší nebo rovno 10,534 je ekvivalentní pravděpodobnosti, že z je větší nebo rovno -0,22. Tato pravděpodobnost, která je pravděpodobností chyby typu II, se rovná 0,587.