Pokud jste někoho požádali, aby pojmenoval svou oblíbenou matematickou konstantu, pravděpodobně byste získali nějaké kvízové pohledy. Po chvíli se někdo může dobrovolně hlásit, že nejlepší konstanta je pi. To však není jediná důležitá matematická konstanta. Blízká sekunda, ne-li uchazeč o korunu nejvíce všudypřítomné konstanty, je E. Toto číslo se zobrazuje v počtu, teorii čísel, pravděpodobnosti a statistika. Budeme zkoumat některé rysy tohoto pozoruhodného čísla a uvidíme, jaké souvislosti má se statistikami a pravděpodobností.
Hodnota E
Jako pi, E je iracionální reálné číslo. To znamená, že nelze psát jako zlomek a že jeho desetinná expanze pokračuje navždy bez opakování bloku čísel, který se neustále opakuje. Číslo E je také transcendentální, což znamená, že to není kořen nenulového polynomu s racionálními koeficienty. Prvních padesát desetinných míst je dáno E = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definice E
Číslo E byl objeven lidmi, kteří byli zvědaví na složený zájem. V této formě úroku jistina získá úrok a poté generovaný úrok získá úrok sám o sobě. Bylo pozorováno, že čím vyšší je frekvence kombinovaných období za rok, tím vyšší je vygenerovaná částka úroku. Mohli bychom se například podívat na to, jak se bude zvyšovat zájem:
- Ročně nebo jednou ročně
- Pololetně nebo dvakrát ročně
- Měsíčně nebo 12krát ročně
- Denně nebo 365krát ročně
Celková výše úroků se zvyšuje v každém z těchto případů.
Vyvstala otázka, kolik peněz by bylo možné vydělat v zájmu. Abychom se pokusili vydělat ještě více peněz, teoreticky bychom mohli zvýšit počet kombinovaných období na tolik, kolik jsme chtěli. Konečným výsledkem tohoto nárůstu je to, že bychom uvažovali o tom, že by úrok byl spojen nepřetržitě.
I když se generovaný zájem zvyšuje, činí tak velmi pomalu. Celková částka peněz na účtu se ve skutečnosti stabilizuje a hodnota, na kterou se stabilizuje, je E. Abychom to vyjádřili pomocí matematického vzorce, říkáme, že limit jako n zvýšení (1 + 1 /n)n = E.
Použití E
Číslo E ukazuje se v celé matematice. Zde je několik míst, kde to vypadá:
- Je to základ přirozeného logaritmu. Protože Napier vynalezl logaritmy, E je někdy označována jako Napierova konstanta.
- V počtu, exponenciální funkce EX má jedinečnou vlastnost jako svůj vlastní derivát.
- Výrazy zahrnující EX a E-X kombinují se a vytvářejí hyperbolické sinusové a hyperbolické cosinové funkce.
- Díky práci Eulera víme, že základní konstanty matematiky jsou ve vzájemném vztahu vzorcem EiΠ + 1 = 0, kde i je imaginární číslo, které je druhou odmocninou záporného čísla.
- Číslo E ukazuje se v různých vzorcích v celé matematice, zejména v oblasti teorie čísel.
Hodnota E ve statistice
Význam čísla E není omezena pouze na několik oblastí matematiky. Existuje také několik použití čísla E ve statistice a pravděpodobnosti. Některé z nich jsou následující:
- Číslo E dělá vzhled v vzorec pro funkci gama.
- Vzorce pro standardní normální rozdělení zahrnuje E na negativní moc. Tento vzorec také zahrnuje pi.
- Mnoho dalších distribucí zahrnuje použití čísla E. Například vzorce pro distribuci t, distribuci gama a distribuci chi-square obsahují číslo E.