Co je Skewness exponenciálního rozdělení?

Běžný parametry pro rozdělení pravděpodobnosti zahrnují střední a standardní odchylku. Průměr udává měření středu a směrodatná odchylka říká, jak rozprostřené je rozdělení. Kromě těchto dobře známých parametrů existují i ​​další, které upozorňují na jiné funkce než šíření nebo střed. Jedním takovým měřením je měření skewness. Skewness poskytuje způsob, jak připojit asymetrii distribuce k číselné hodnotě.

Jedno důležité rozdělení, které prozkoumáme, je exponenciální rozdělení. Uvidíme, jak prokázat, že sklon exponenciálního rozdělení je 2.

Začneme stanovením funkce hustoty pravděpodobnosti pro exponenciální rozdělení. Každá z těchto distribucí má parametr, který souvisí s parametrem z příslušného Poissonův proces. Toto rozdělení označujeme jako Exp (A), kde A je parametr. Funkce hustoty pravděpodobnosti pro toto rozdělení je:

F(X) = E^-X/A/ A, kde X je nezáporné.

Tady E je matematický konstantní E to je přibližně 2,718281828. Průměr a standardní odchylka exponenciálního rozdělení Exp (A) se vztahují k parametru A. Ve skutečnosti jsou střední a standardní odchylka rovna A.

Skewness je definována výrazem vztahujícím se ke třetímu momentu o průměru. Tento výraz je očekávanou hodnotou:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Nahradíme μ a σ za A a výsledkem je, že skewn je E [X³] / A³ – 4.

Zbývá jen spočítat třetí okamžik o původu. K tomu musíme integrovat následující:

∫^∞₀X³F(XdX.

Tento integrál má nekonečno pro jednu ze svých hranic. Lze jej tedy hodnotit jako nevhodný integrál typu I. Musíme také určit, jakou integrační techniku ​​použít. Protože integrační funkce je produktem polynomiální a exponenciální funkce, musíme použít integrace po částech. Tato integrační technika se používá několikrát. Konečným výsledkem je, že:

E [X³] = 6A³

Pak to kombinujeme s naší předchozí rovnicí pro skewness. Vidíme, že skewn je 6 - 4 = 2.

Je důležité si uvědomit, že výsledek je nezávislý na konkrétním exponenciálním rozdělení, které začínáme. Sklon exponenciálního rozdělení se nespoléhá na hodnotu parametru A.

Navíc vidíme, že výsledkem je pozitivní skewness. To znamená, že rozdělení je nakloněno doprava. To by nemělo být žádným překvapením, když přemýšlíme o tvaru grafu funkce hustoty pravděpodobnosti. Všechny takové distribuce mají průnik y jako 1 // theta a ocas, který jde zcela vpravo od grafu, což odpovídá vysokým hodnotám proměnné X.

Samozřejmě bychom také měli zmínit, že existuje jiný způsob, jak vypočítat skewness. Pro exponenciální distribuci můžeme využít funkci generování momentů. První derivát funkce generování momentů vyhodnoceno na 0 nám dává E [X]. Podobně třetí derivace funkce generování momentu, když je vyhodnocena při 0, dává E (X³].