Úvod do Bell Curve

Normální rozdělení je více obyčejně známé jako křivka zvonku. Tento typ křivky se zobrazuje v celém textu statistika a skutečný svět.

Například poté, co jsem udělal test v kterékoli ze svých tříd, jedna věc, kterou rád dělám, je vytvořit graf všech skóre. Typicky si zapíšu 10 bodových rozsahů, jako je 60-69, 70-79 a 80-89, a poté přidám součtový bod pro každé skóre v tomto rozsahu. Téměř pokaždé, když to udělám, se objeví známý tvar. Trochu studenti dělat velmi dobře a pár dělat velmi špatně. Kolem průměrného skóre skončí hromada skóre. Různé testy mohou vést k různým prostředkům a směrodatným odchylkám, ale tvar grafu je téměř vždy stejný. Tento tvar se obvykle nazývá zvonová křivka.

Proč se tomu říká zvonová křivka? Zvonková křivka dostane své jméno docela jednoduše proto, že její tvar připomíná tvar zvonku. Tyto křivky se objevují v průběhu studia statistik a jejich význam nelze zdůraznit.

Abychom byli technický, druhy zvonových křivek, které nám ve statistice nejvíce záleží, se ve skutečnosti nazývají normální

Ale opravdu se nemusíme příliš starat o vzorec. Jedinými dvěma čísly, na kterých nám záleží, jsou střední a standardní odchylka. Zvonová křivka pro danou sadu dat má střed umístěný na střední hodnotě. Zde se nachází nejvyšší bod křivky nebo „vrchol zvonku“. Standardní odchylka sady dat určuje, jak je rozložena naše křivka zvonku. Čím větší je směrodatná odchylka, tím více je křivka rozprostřena.

Existuje několik funkcí zvonových křivek, které jsou důležité a odlišují je od ostatních křivek ve statistice:

• Zvonková křivka má jeden režim, který se kryje se střední a střední hodnotou. Toto je střed křivky, kde je na nejvyšší úrovni.
• Zvonková křivka je symetrická. Pokud by byl průměr složen podél svislé čáry, obě poloviny by se perfektně shodovaly, protože se jedná o zrcadlové obrazy.
• Zvonková křivka se řídí pravidlem 68-95-99.7, které poskytuje pohodlný způsob provádění odhadovaných výpočtů:
  • Přibližně 68% všech údajů leží v jedné standardní odchylce od střední hodnoty.
  • Přibližně 95% všech údajů je ve dvou směrodatných odchylkách od střední hodnoty.
  • Přibližně 99,7% údajů je v rámci tří směrodatných odchylek od průměru.

Pokud víme, že zvonová křivka modeluje naše data, můžeme pomocí výše uvedených funkcí zvonové křivky říci docela dost. Vraťme se k příkladu testu, předpokládejme, že máme 100 studentů, kteří absolvovali statistický test s průměrným skóre 70 a standardní odchylkou 10.

Standardní odchylka je 10. Odečtěte a přidejte 10 k průměru. To nám dává 60 a 80. Podle pravidla 68-95-99.7 bychom očekávali, že asi 68% ze 100, nebo 68 studentů, se skóre v testu mezi 60 a 80.

Dvakrát standardní odchylka je 20. Pokud odečteme a přidáme 20 k průměru, máme 50 a 90. Očekávali bychom, že asi 95% ze 100, nebo 95 studentů, se skóre testu mezi 50 a 90.

Podobný výpočet nám říká, že efektivně každý skóroval mezi 40 a 100 při testu.

Existuje mnoho aplikací pro zvonové křivky. Jsou důležité ve statistice, protože modelují širokou škálu skutečných dat. Jak je uvedeno výše, výsledky testů jsou jedním místem, kde se objevují. Zde jsou některé další:

• Opakovaná měření kusu zařízení
• Měření charakteristik v biologii
• Přibližování náhodných událostí, jako je několikrát obracející minci
• Výšky studentů na konkrétní úrovni ve školní čtvrti

I když existuje nespočet aplikací zvonových křivek, není vhodné je používat ve všech situacích. Některé soubory statistických údajů, například porucha zařízení nebo rozdělení příjmů, mají různé tvary a nejsou symetrické. Jindy mohou existovat dva nebo více režimů, například když několik studentů dělá velmi dobře a několik velmi špatně. Tyto aplikace vyžadují použití jiných křivek, které jsou definovány odlišně od zvonové křivky. Znalosti o tom, jak byla získána příslušná sada dat, mohou pomoci určit, zda by se k reprezentaci dat měla použít zvonová křivka.