Rozdíl dvou sad, písemný A - B je sada všech prvků A které nejsou prvky B. Operace rozdílu, spolu se spojením a průnikem, je důležitá a operace základní teorie množin.
Popis rozdílu
Odečtení jednoho čísla od jiného lze uvažovat mnoha různými způsoby. Jeden model, který má pomoci pochopit tento koncept, se nazývá model s sebou odčítání. V tomto by byl problém 5 - 2 = 3 demonstrován počínaje pěti objekty, odstraněním dvou z nich a počítáním, že zbývají tři. Podobným způsobem, že najdeme rozdíl mezi dvěma čísly, můžeme najít rozdíl dvou sad.
Příklad
Podíváme se na příklad nastaveného rozdílu. Chcete-li vidět, jak rozdíl dvou sady tvoří novou sadu, podívejme se na sady A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Chcete-li najít rozdíl A - B z těchto dvou sad začneme psáním všech prvků A, a poté odeberte všechny prvky A to je také prvek B. Od té doby A sdílí prvky 3, 4 a 5 s B, to nám dává rozhodující rozdíl A - B = {1, 2}.
Objednávka je důležitá
Stejně jako rozdíly 4 - 7 a 7 - 4 nám dávají různé odpovědi, musíme si dát pozor na pořadí, ve kterém vypočítáme stanovený rozdíl. Abychom použili technický termín z matematiky, řekli bychom, že nastavená operace rozdílu není komutativní. To znamená, že obecně nemůžeme změnit pořadí rozdílu dvou sad a očekávat stejný výsledek. Můžeme přesněji říci, že pro všechny sady
A a B, A - B není rovno B - A.Chcete-li to vidět, podívejte se zpět na výše uvedený příklad. Vypočítali jsme to pro sady A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, rozdíl A - B = {1, 2 }. Chcete-li to porovnat s B - A, začneme s prvky B, které jsou 3, 4, 5, 6, 7, 8, a poté odstraňte 3, 4 a 5, protože jsou společné s A. Výsledek je B - A = {6, 7, 8 }. Tento příklad nám to jasně ukazuje A - B není rovno B - A.
Doplněk
Jeden druh rozdílu je natolik důležitý, aby zaručoval jeho vlastní zvláštní jméno a symbol. Tomu se říká doplněk a používá se pro nastavený rozdíl, když první sada je univerzální sada. Doplněk A je dán výrazem U - A. To se týká souboru všech prvků v univerzální sadě, které nejsou prvky A. Protože se rozumí, že sada prvků že si můžeme vybrat z, jsou převzaty z univerzální sady, můžeme jednoduše říci, že doplněk A je množina složená z prvků, které nejsou prvky A.
Doplněk sady je relativní k univerzální sadě, se kterou pracujeme. S A = {1, 2, 3} a U = {1, 2, 3, 4, 5}, doplněk A je {4, 5}. Pokud se náš univerzální soubor liší, řekněme U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, pak doplněk A {-3, -2, -1, 0}. Vždy nezapomeňte věnovat pozornost tomu, co se univerzální sada používá.
Zápis pro doplněk
Slovo „doplněk“ začíná písmenem C, a proto se v zápisu používá. Doplněk sady A je psán jako AC. Můžeme tedy vyjádřit definici doplňku v symbolech jako: AC = U - A.
Jiný způsob, který se běžně používá k označení doplňku souboru, zahrnuje apostrof a je psán jako A'.
Další identity, které se týkají rozdílu a doplňků
Existuje mnoho množin identit, které zahrnují použití operací rozdílu a doplňků. Některé identity kombinují další sady operací, jako je průsečík a unie. Některé z nejdůležitějších jsou uvedeny níže. Pro všechny sady A, a B a D my máme:
- A - A =∅
- A - ∅ = A
- ∅ - A = ∅
- A - U = ∅
- (AC)C = A
- DeMorganův zákon I: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- DeMorgan's Law II: (A ∪ B)C = AC ∩ BC