Jaká je očekávaná hodnota v pravděpodobnosti?

Jste na karnevalu a vidíte hru. Za 2 $ hodíte standardní šestibokou matrici. Pokud je zobrazený počet šest, vyhrajete 10 $, jinak nic nevyhrajete. Pokud se snažíte vydělat peníze, je ve vašem zájmu hrát hru? K odpovědi na takovou otázku potřebujeme koncept očekávané hodnoty.

Očekávaná hodnota může být skutečně považována za průměr náhodné proměnné. To znamená, že pokud jste prováděli experiment pravděpodobnosti znovu a znovu, při sledování výsledků, očekávaná hodnota je průměrný všech získaných hodnot. Očekávaná hodnota je to, co byste měli očekávat, že se stane v dlouhodobém horizontu mnoha pokusů o hazardní hry.

Karnevalová hra uvedená výše je příkladem diskrétní náhodné proměnné. Proměnná není spojitá a každý výsledek k nám přichází v počtu, který lze oddělit od ostatních. Najít očekávanou hodnotu hry, která má výsledky X₁, X₂,..., X_n s pravděpodobností str₁, str₂,... , str_n, spočítat:

X₁str₁ + X₂str₂ +... + X_nstr_n.

Pro výše uvedenou hru máte pravděpodobnost, že nic nevyhrajete. Hodnota tohoto výsledku je -2, protože jste strávili 2 $ hraním hry. Šestka má pravděpodobnost 1/6, a tato hodnota má výsledek 8. Proč 8 a ne 10? Znovu musíme započítat 2 $, které jsme zaplatili za hraní, a 10 - 2 = 8.

Nyní připojte tyto hodnoty a pravděpodobnosti k očekávaným hodnotový vzorec a skončí s: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. To znamená, že z dlouhodobého hlediska byste měli při každé hře očekávat ztrátu v průměru asi 33 centů. Ano, někdy vyhrajete. Ale ztratíte častěji.

Nyní předpokládejme, že karnevalová hra byla mírně upravena. Za stejný vstupní poplatek 2 $, pokud je zobrazený počet šest, vyhrajete 12 $, jinak nic nevyhrajete. Očekávaná hodnota této hry je -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Z dlouhodobého hlediska neztratíte žádné peníze, ale nevyhrajete. Neočekávejte, že na místním karnevalu uvidíte hru s těmito čísly. Pokud z dlouhodobého hlediska neztratíte žádné peníze, pak karneval žádné nevydělá.

Nyní se obraťte na kasino. Stejně jako dříve můžeme vypočítat očekávanou hodnotu hazardních her, jako je ruleta. V USA má ruletové kolo 38 očíslovaných slotů od 1 do 36, 0 a 00. Polovina z 1-36 jsou červená, polovina je černá. 0 i 00 jsou zelené. Míč náhodně přistane v jednom ze slotů a sázky jsou umístěny na místo, kde míč dopadne.

Jednou z nejjednodušších sázek je sázka na červenou. Pokud vsadíte 1 $ a míč dopadne na červené číslo ve kole, vyhrajete 2 $. Pokud míč dopadne na černé nebo zelené místo ve kole, nic nevyhrajete. Jaká je očekávaná hodnota takové sázky? Protože existuje 18 červených mezer, existuje pravděpodobnost výhry 18/38 s čistým ziskem 1 $. Existuje 20/38 pravděpodobnost ztráty původní sázky ve výši 1 $. Očekávaná hodnota této sázky v ruleta je 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, což je asi 5,3 centů. Zde má dům mírnou výhodu (jako u všech kasinových her).

Jako další příklad zvažte a loterie. Ačkoli miliony lze vyhrát za cenu 1 $, očekávaná hodnota loterijní hry ukazuje, jak nespravedlivě je postavena. Předpokládejme, že za $ 1 si vyberete šest čísel od 1 do 48. Pravděpodobnost správného výběru všech šesti čísel je 1/12 271 512. Pokud vyhrajete 1 milion dolarů za získání všech šesti správných, jaká je očekávaná hodnota této loterie? Možné hodnoty jsou - 1 $ prohry a 999,999 $ pro výhry (opět musíme účtovat náklady na hraní a odečíst to od výher). To nám dává očekávanou hodnotu:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Takže pokud byste měli hrát loterii znovu a znovu, z dlouhodobého hlediska ztratíte při každém hraní asi 92 centů - téměř veškerou cenu vstupenky.

Všechny výše uvedené příklady se dívají na diskrétní náhodná proměnná. Je však možné definovat také očekávanou hodnotu pro souvislou náhodnou proměnnou. V tomto případě musíme pouze nahradit sumaci v našem vzorci integrálem.

Je důležité si uvědomit, že očekávaná hodnota je průměrem po mnoha pokusech s a náhodný proces. Z krátkodobého hlediska se průměr náhodné proměnné může výrazně lišit od očekávané hodnoty.