Jednou z přirozených otázek o rozdělení pravděpodobnosti je: „Jaké je její centrum?“ Očekávaná hodnota je jedno takové měření středu rozdělení pravděpodobnosti. Protože měří průměr, nemělo by být žádným překvapením, že tento vzorec je odvozen od průměru.
Abychom stanovili výchozí bod, musíme odpovědět na otázku: „Jaká je očekávaná hodnota?“ Předpokládejme, že máme náhodnou proměnnou spojenou s pravděpodobnostním experimentem. Řekněme, že tento experiment opakujeme znovu a znovu. V dlouhodobém horizontu několika opakování stejného pravděpodobnostního experimentu, pokud jsme zprůměrovali všechny naše hodnoty náhodná proměnná, dostaneme očekávanou hodnotu.
V následujícím textu uvidíme, jak použít vzorec pro očekávanou hodnotu. Podíváme se na diskrétní i kontinuální nastavení a uvidíme podobnosti a rozdíly ve vzorcích.
Vzorec pro diskrétní náhodnou proměnnou
Začneme analýzou diskrétního případu. Vzhledem k diskrétní náhodné proměnné X, předpokládejme, že má hodnoty X1, X2, X3,... Xna příslušné pravděpodobnosti
str1, str2, str3,... strn. Toto říká, že funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro tuto náhodnou proměnnou dává F(Xi) = stri.Očekávaná hodnota X je dáno vzorcem:
E(X) = X1str1 + X2str2 + X3str3 +... + Xnstrn.
Použití funkce pravděpodobnostní hmotnosti a notace sumace nám umožňuje kompaktněji napsat tento vzorec takto, kde sumace je převzata indexem i:
E(X) = Σ XiF(Xi).
Tato verze vzorce je užitečné vidět, protože funguje také, když máme nekonečný vzorový prostor. Tento vzorec lze také snadno upravit pro souvislý případ.
Příklad
Prohodit minci třikrát a nechat X je počet hlav. Náhodná proměnná X je diskrétní a konečný. Jediné možné hodnoty, které můžeme mít, jsou 0, 1, 2 a 3. Toto má distribuci pravděpodobnosti 1/8 pro X = 0, 3/8 pro X = 1, 3/8 pro X = 2, 1/8 pro X = 3. Použijte vzorec očekávané hodnoty k získání:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
V tomto příkladu vidíme, že v dlouhodobém horizontu budeme z tohoto experimentu průměrovat celkem 1,5 hlav. S naší intuicí to dává smysl, protože polovina ze 3 je 1,5.
Vzorec pro spojitou náhodnou proměnnou
Nyní se obrátíme na souvislou náhodnou proměnnou, kterou označíme X. Necháme funkci hustoty pravděpodobnosti X být dána funkcí F(X).
Očekávaná hodnota X je dáno vzorcem:
E(X) = ∫ x f(XdX.
Zde vidíme, že očekávaná hodnota naší náhodné proměnné je vyjádřena jako integrál.
Aplikace očekávané hodnoty
Je jich mnoho aplikace pro očekávanou hodnotu náhodné proměnné. Tento vzorec dělá zajímavý vzhled v Petrohradský paradox.