Výpočty s funkcí gama

funkce gama je definován následujícím komplikovaně vypadajícím vzorcem:

Γ ( z ) = ∫₀^∞E ^{- t}t^z-1dt

Jedna otázka, kterou lidé mají, když se poprvé setkají s touto matoucí rovnicí, je: „Jak použijete tento vzorec pro výpočet hodnot funkce gama? “ To je důležitá otázka, protože je těžké vědět, co tato funkce znamená a co znamenají všechny symboly pro.

Jedním ze způsobů, jak odpovědět na tuto otázku, je pohled na několik vzorových výpočtů s funkcí gama. Než to uděláme, existuje několik věcí z počtu, které musíme vědět, například jak integrovat typ I nesprávného integrálu a že e je matematická konstanta.

Před provedením jakýchkoli výpočtů prozkoumáme motivaci těchto výpočtů. Funkce gama se mnohokrát objevují za scénami. Z hlediska funkce gama je uvedeno několik funkcí hustoty pravděpodobnosti. Jejich příklady zahrnují distribuci gama a t-distribuci studentů. Význam funkce gama nelze přeceňovat.

První příklad výpočtu, který budeme studovat, je nalezení hodnoty funkce gama pro Γ (1). Toto je nalezeno nastavením z = 1 ve výše uvedeném vzorci:

∫₀^∞E ^{- t}dt

Výše uvedený integrál počítáme ve dvou krocích:

• Neurčitý integrál ∫E ^{- t}dt= -E ^{- t} + C
• Toto je nesprávný integrál, takže máme ∫₀^∞E ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -E ^{- b} + E ⁰ = 1

Další příklad výpočtu, který budeme brát v úvahu, je podobný jako v předchozím příkladu, ale zvyšujeme hodnotu z o 1. Nyní vypočítáme hodnotu funkce gama pro Γ (2) nastavením z = 2 ve výše uvedeném vzorci. Kroky jsou stejné jako výše:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞E ^{- t}t dt

Neurčitý integrál ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -E ^{- t} + C. Přestože jsme pouze zvýšili hodnotu z 1, výpočet tohoto integrálu vyžaduje více práce. Abychom našli tento integrál, musíme použít techniku ​​z počtu známých jako integrace po částech. Nyní používáme limity integrace stejně jako výše a je třeba počítat:

lim_{b → ∞}- být ^{- b} -E ^{- b} -0e ⁰ + E ⁰.

Výsledek z počtu známého jako L'Hospitalovo pravidlo nám umožňuje vypočítat limitní limit_{b → ∞}- být ^{- b} = 0. To znamená, že hodnota našeho integrálu výše je 1.

Další funkce gama funkce a ta, která ji spojuje s faktoriální je vzorec Γ (z +1 ) =zΓ (z ) pro z libovolné komplexní číslo s kladným číslem nemovitý část. Důvod, proč je to pravda, je přímým výsledkem vzorce pro funkci gama. Pomocí integrace pomocí částí můžeme stanovit tuto vlastnost funkce gama.