Vector Mathematics: Základní, ale komplexní úvod

Toto je základní, i když snad docela komplexní, úvod do práce s vektory. Vektory se projevují v široké škále způsobů od přemístění, rychlosti a zrychlení po síly a pole. Tento článek je věnován matematice vektorů; jejich aplikace v konkrétních situacích bude řešena jinde.

A vektorová veličina, nebo vektor, poskytuje informace nejen o velikosti, ale také o směru množství. Když dáváte pokyny k domu, nestačí říci, že je to 10 kilometrů daleko, ale aby tyto informace byly užitečné, musí být také stanoven směr těchto 10 mil. Proměnné, které jsou vektory, budou označeny proměnnou tučného povrchu, ačkoli je běžné vidět vektory označené malými šipkami nad proměnnou.

Stejně jako neříkáme, že druhý dům je -10 mil daleko, velikost vektoru je vždy kladné číslo, nebo spíše absolutní hodnota „délky“ vektoru (i když množství nemusí být délka, může to být rychlost, zrychlení, síla atd.) Negativní před vektorem neoznačuje změnu velikosti, ale spíše ve směru vektor.

Ve výše uvedených příkladech je vzdálenost skalárním množstvím (10 mil), ale

A jednotkový vektor je vektor, který má velikost jednoho. Vektor představující jednotkový vektor je obvykle také tučně, i když bude mít karát (^) nad ním označuje jednotkovou povahu proměnné. Jednotkový vektor X, když je psán s karátem, je obecně považován za „x-hat“, protože karát vypadá jako proměnná jako klobouk.

nulový vektor, nebo nulový vektor, je vektor s nulovou velikostí. Je psán jako 0 v tomto článku.

Vektory jsou obecně orientovány na souřadnicový systém, z nichž nejoblíbenější je dvourozměrná kartézská rovina. Kartézská rovina má vodorovnou osu, která je označena x a vertikální osa je označena y. Některé pokročilé aplikace vektorů ve fyzice vyžadují použití trojrozměrného prostoru, ve kterém jsou osy x, y a z. Tento článek se bude zabývat většinou dvourozměrným systémem, i když koncepty lze s jistou péčí rozšířit do tří dimenzí bez přílišných potíží.

Vektory ve vícerozměrných souřadných systémech lze rozdělit na jejich složkové vektory. V dvojrozměrném případě to má za následek a x-komponenta a složka y. Při rozdělení vektoru na jeho složky je vektor součtem složek:

F = F_X + F_y

thetaF_XF_yF

F_X / F = cos theta a F_y / F = hřích thetacož nám dává
F_X = F cos theta a F_y = F hřích theta

Všimněte si, že čísla jsou zde velikostmi vektorů. Známe směr složek, ale snažíme se najít jejich velikost, takže odstraníme směrové informace a provedeme tyto skalární výpočty, abychom zjistili velikost. Další použití trigonometrie lze použít k nalezení dalších vztahů (jako je tangens) vztahujících se k některým z těchto veličin, ale myslím, že to prozatím stačí.

Po mnoho let je jedinou matematikou, kterou se student učí, skalární matematika. Pokud cestujete 5 mil severně a 5 mil východně, cestujete 10 mil. Přidání skalárních množství ignoruje všechny informace o směrech.

S vektory se manipuluje poněkud odlišně. Při manipulaci s nimi musí být vždy zohledněn směr.

Když přidáte dva vektory, je to, jako by jste vzali vektory a umístili je od začátku do konce a vytvořili nový vektor běžící od počátečního bodu do koncového bodu. Pokud vektory mají stejný směr, pak to znamená pouze přidání velikosti, ale pokud mají různé směry, může se stát složitější.

Vektory přidáte tak, že je rozdělíte na jejich komponenty a poté přidáte komponenty, jak je uvedeno níže:

A + b = C
A_X + A_y + b_X + b_y =
( A_X + b_X) + ( A_y + b_y) = C_X + C_y

Výsledkem dvou složek x bude složka x nové proměnné, zatímco dvě složky y povedou ke složce y nové proměnné.

Nezáleží na pořadí, ve kterém přidáte vektory. Ve skutečnosti několik vlastností ze skalárního sčítání platí pro přidání vektoru:

Vlastnost identity přidání vektoru
A + 0 = A
Inverzní vlastnost přidání vektoru
A + -A = A - A = 0
Reflexní vlastnost přidání vektoru
A = A
Komutativní vlastnictví přidání vektoru
A + b = b + A
Asociativní vlastnost přidání vektoru
(A + b) + C = A + (b + C)
Přechodná vlastnost přidání vektoru
Li A = b a C = b, pak A = C

Nejjednodušší operace, kterou lze na vektoru provést, je vynásobit jej skalárem. Toto skalární násobení mění velikost vektoru. Jinými slovy, vektor činí delší nebo kratší.

Při násobení časů záporného skaláru bude výsledný vektor ukazovat opačným směrem.

skalární produkt dvou vektorů je způsob, jak je násobit, aby se získalo skalární množství. Toto je zapsáno jako násobení dvou vektorů, přičemž tečka uprostřed představuje násobení. Jako takový se často nazývá Tečkovaný produkt dvou vektorů.

Pro výpočet součtu bodů dvou vektorů zvažte úhel mezi nimi. Jinými slovy, pokud by sdílely stejný výchozí bod, jaké by bylo měření úhlu (theta) mezi nimi. Dot produkt je definován jako:

A * b = ab cos theta

ababba

V případech, kdy jsou vektory kolmé (nebo theta = 90 stupňů), cos theta bude nula. Proto, tečkový součin kolmých vektorů je vždy nula. Když jsou vektory paralelní (nebo theta = 0 stupňů), cos theta je 1, takže skalární součin je pouze výsledkem veličin.

Tato úhledná malá fakta lze použít k prokázání, že pokud znáte složky, můžete eliminovat potřebu theta zcela pomocí (dvourozměrné) rovnice:

A * b = A_X b_X + A_y b_y

vektorový produkt je napsán ve formě A X b, a obvykle se nazývá křížový produkt dvou vektorů. V tomto případě násobíme vektory a namísto získání skalárního množství dostaneme vektorové množství. Toto je nejzložitější z vektorových výpočtů, se kterými se budeme zabývat ne komutativní a zahrnuje použití obávaný pravostranné pravidlo, ke kterému se brzy dostanu.

Znovu uvažujeme dva vektory nakreslené ze stejného bodu, s úhlem theta mezi nimi. Vždycky bereme nejmenší úhel, tak theta bude vždy v rozmezí 0 až 180 a výsledek tedy nebude nikdy záporný. Velikost výsledného vektoru se stanoví takto:

Li C = A X b, pak C = ab hřích theta

Vektorový produkt paralelních (nebo antiparalelních) vektorů je vždy nula

Vektorový produkt bude kolmý k rovině vytvořené z těchto dvou vektorů. Pokud si představíte letadlo jako ploché na stole, otázka se stane, jestli výsledný vektor půjde nahoru (náš "z" stolu, z našeho pohledu) nebo dolů (nebo "do" stolu, z našeho perspektivní).

Abychom to zjistili, musíte použít to, co se nazývá pravostranné pravidlo. Když jsem studoval fyziku ve škole, tak jsem nenáviděný pravostranné pravidlo. Pokaždé, když jsem ji použil, musel jsem vytáhnout knihu, abych se podíval, jak to funguje. Doufejme, že můj popis bude trochu intuitivnější než ten, který jsem představil.

Pokud máte A X b položíš pravou ruku po celé délce b aby se vaše prsty (kromě palce) mohly zakřivit tak, aby ukazovaly A. Jinými slovy, snažíte se udělat úhel theta mezi dlaní a čtyřmi prsty pravé ruky. Palec se v tomto případě bude držet přímo vzhůru (nebo mimo obrazovku, pokud se to pokusíte udělat do počítače). Vaše klouby budou zhruba zarovnány s počátečním bodem těchto dvou vektorů. Přesnost není nezbytná, ale chci, abyste získali představu, protože o tom nemám obrázek.

Pokud však uvažujete b X A, uděláte pravý opak. Položíš pravou ruku A a namiřte prsty b. Pokud se o to pokoušíte na obrazovce počítače, zjistíte, že je to nemožné, proto používejte svou fantazii. Zjistíte, že v tomto případě váš imaginární palec směřuje na obrazovku počítače. To je směr výsledného vektoru.

Pravítko na pravé straně ukazuje následující vztah:

A X b = - b X A

Cabc

C_X = A_y b_z - A_z b_y
C_y = A_z b_X - A_X b_z
C_z = A_X b_y - A_y b_X

abC_XC_yC

Na vyšších úrovních se s vektory může pracovat velmi složitě. Celé kurzy na vysoké škole, jako je lineární algebra, věnují hodně času maticím, kterým jsem se v tomto úvodu ráda vyhýbala, vektorům a vektorové prostory. Tato úroveň podrobností přesahuje rámec tohoto článku, ale mělo by to poskytnout základy nezbytné pro většinu manipulace s vektorem, která se provádí ve třídě fyziky. Pokud máte v úmyslu studovat fyziku do větší hloubky, budete se během svého vzdělávání seznámeni se složitějšími vektorovými pojmy.