Běžné příklady nespočetných sad

Ne všechny nekonečné množiny jsou stejné. Jedním ze způsobů, jak rozlišit mezi těmito sadami, je dotazem, zda je sada spočítatelná nekonečný nebo ne. Tímto způsobem říkáme, že nekonečné množiny jsou buď nespočetné, nebo nespočetné. Budeme zvažovat několik příkladů nekonečných množin a určíme, které z nich jsou nespočetné.

Začneme tím, že vyloučíme několik příkladů nekonečných sad. Mnohé z nekonečných sad, o kterých bychom si okamžitě mysleli, jsou nesčetně nekonečné. To znamená, že je lze dát do vzájemné korespondence s přirozenými čísly.

Přirozená čísla, celá čísla a racionální čísla jsou nesčetně nekonečná. Počítá se také jakákoli unie nebo průnik nesčetných nekonečných množin. Kartézský produkt libovolného počtu spočítatelných množin je spočitatelný. Počítá se také každá podmnožina počitatelné množiny.

Nejběžnějším způsobem zavedení nespočetných množin je zvažování intervalu (0, 1) reálná čísla. Z tohoto faktu a funkce jeden na jednoho F( X ) = bx + A. je to přímý důsledek toho, že jakýkoli interval (A, b) reálných čísel je nespočetně nekonečná.

Celá sada reálných čísel je také nespočetná. Jedním ze způsobů, jak to ukázat, je použít tangenciální funkci jedna ku jedné F ( X ) = tan X. Doménou této funkce je interval (-π / 2, π / 2), nespočetná množina a rozsah je množina všech reálných čísel.

Operace teorie základních množin mohou být použity k vytvoření více příkladů nekonečně nekonečných množin:

• Li A je podmnožinou B a A je nespočetné, tak to také je B. To poskytuje přímější důkaz, že celá sada reálných čísel je nespočetná.
• Li A je nespočetný a B je libovolný soubor, pak unie A U B je také nespočetný.
• Li A je nespočetný a B je jakákoli sada, pak kartézský produkt A X B je také nespočetný.
• Li A je nekonečný (i nespočetně nekonečný), pak napájení z A je nespočetný.

Dva další příklady, které spolu souvisejí, jsou poněkud překvapivé. Ne každá podmnožina reálných čísel je nesčetně nekonečná (ve skutečnosti racionální čísla tvoří počítatelnou podmnožinu skutečností, která je také hustá). Některé podmnožiny jsou nespočetně nekonečné.

Jedna z těchto nespočetně nekonečných podmnožin zahrnuje určité typy desetinných rozšíření. Pokud zvolíme dvě číslice a vytvoříme každou možnou desetinnou expanzi pouze s těmito dvěma číslicemi, pak je výsledná nekonečná množina nespočetná.

Konstrukce jiné sady je složitější a je také nespočetná. Začněte uzavřeným intervalem [0,1]. Odstraňte střední třetinu této sady, což má za následek [0, 1/3] U [2/3, 1]. Nyní odstraňte střední třetinu všech zbývajících kusů sady. Takže (1/9, 2/9) a (7/9, 8/9) se odstraní. Pokračujeme tímto způsobem. Sada bodů, které zůstanou po odstranění všech těchto intervalů, není intervalem, je však nespočetně nekonečná. Tato sada se nazývá sada Cantor.

Existuje nekonečně mnoho nespočetných sad, ale výše uvedené příklady jsou některé z nejčastěji setkávaných sad.