Vlastnosti reálného čísla

Co je to číslo? To záleží. Existuje celá řada různých druhů čísel, z nichž každé má své vlastní zvláštní vlastnosti. Jeden druh čísla, na kterém statistikaPravděpodobnost a většina matematiky je založena na skutečném čísle.

Abychom zjistili, co je skutečné číslo, nejprve se vydáme na krátkou prohlídku jiných druhů čísel.

Nejprve se o číslech naučíme, abychom mohli počítat. Začali jsme porovnáváním čísel 1, 2 a 3 s našimi prsty. Pak jsme pokračovali tak vysoko, jak jsme mohli, což asi nebylo tak vysoké. Tato počítací čísla nebo přirozená čísla byla jediná čísla, o kterých jsme věděli.

Později, když se zabýváme odčítáním, negativní byla představena celá čísla. Soubor kladných a záporných celých čísel se nazývá množina celých čísel. Krátce na to byla uvažována racionální čísla, nazývaná také zlomky. Protože každé celé číslo může být zapsáno jako zlomek s 1 ve jmenovateli, říkáme, že celá čísla tvoří podmnožinu racionálních čísel.

starověcí Řekové si uvědomil, že ne všechna čísla mohou být tvořena jako zlomek. Například druhou odmocninu 2 nelze vyjádřit jako zlomek. Tyto druhy čísel se nazývají iracionální čísla. Iracionální čísla oplývají a poněkud překvapivě jsou v jistém smyslu iracionálnější čísla než racionální čísla. Jiná iracionální čísla zahrnují

Každé reálné číslo lze napsat jako desetinné číslo. Různé druhy reálných čísel mají různé druhy desetinných rozšíření. Desetinná expanze racionálního čísla končí, například 2, 3,25 nebo 1,2342, nebo se opakuje, například 0,33333.. Nebo .123123123.. . Na rozdíl od toho je desetinná expanze iracionálního čísla nekonečná a neopakovatelná. Vidíme to v desítkové expanzi pi. Neexistuje nikdy nekončící řetězec číslic pro pí, a co víc, neexistuje řetězec číslic, který se neurčitě opakuje.

Reálná čísla lze vizualizovat přidružením každého z nich k jednomu z nekonečného počtu bodů podél přímky. Reálná čísla mají řád, což znamená, že pro libovolná dvě odlišná reálná čísla můžeme říci, že jedno je větší než druhé. Konvencí, pohyb doleva podél skutečné číselné čáry odpovídá menším a menším číslům. Posun doprava podél skutečné číselné čáry odpovídá větším a větším číslům.

Reálná čísla se chovají jako jiná čísla, s nimiž jsme zvyklí. Můžeme je sčítat, odečítat, násobit a dělit (pokud se nerozdělíme nulou). Pořadí sčítání a násobení není důležité, protože existuje komutativní vlastnost. Distribuční vlastnost nám říká, jak vzájemné ovlivňování multiplikace a sčítání.

Jak již bylo zmíněno, skutečná čísla mají řád. Vzhledem k jakýmkoli dvěma reálným číslům X a y, víme, že platí pouze jedno z následujících:

X = y, X < y nebo X > y.

Vlastnost, která odlišuje skutečná čísla od ostatních sad čísel, jako jsou racionální, je vlastnost známá jako úplnost. Úplnost je trochu technický vysvětlit, ale intuitivní představa je, že soubor racionálních čísel má mezery v něm. Sada reálných čísel nemá mezery, protože je kompletní.

Pro ilustraci se podíváme na posloupnost racionálních čísel 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3,1415,. .. Každý člen této sekvence je aproximací k pi, získaným zkrácením desetinné expanze pro pi. Podmínky této posloupnosti se přibližují k pi. Jak jsme však zmínili, pi není racionální číslo. Potřebujeme použít iracionální čísla, abychom zapojili otvory v číselné linii, které se vyskytnou pouze s ohledem na racionální čísla.

Není divu, že existuje nekonečné množství reálných čísel. To lze poměrně snadno vidět, když uvážíme, že celá čísla tvoří podmnožinu reálných čísel. Viděli jsme to také tím, že jsme si uvědomili, že číselný řádek má nekonečný počet bodů.

Překvapivé je, že nekonečno použité pro počítání reálných čísel je jiného druhu než nekonečno používané pro počítání celých čísel. Celá čísla, celá čísla a racionály jsou nesčetně nekonečné. Sada reálných čísel je nespočetně nekonečná.

Skutečná čísla získají své jméno, aby je odlišily od ještě větší zobecnění na pojetí čísla. Imaginární číslo i je definován jako druhá odmocnina záporného. Jakékoli skutečné číslo vynásobené i je také známý jako imaginární číslo. Imaginární čísla rozhodně táhnou naši představu o čísle, protože vůbec nejsou to, o čem jsme si mysleli, když jsme se poprvé naučili počítat.