Úvod do funkce Dirac Delta

Diracova delta funkce je název přiřazený matematické struktuře, která má představovat idealizovaný bodový objekt, například bodovou hmotu nebo bodový náboj. Má široké uplatnění v kvantové mechanice a ve zbytku kvantová fyzika, protože se obvykle používá v kvantové podobě vlnová funkce. Funkce delta je reprezentována symbolem delta řeckého malého písmene, zapsaným jako funkce: δ (X).

Toto znázornění je dosaženo definováním funkce delta Dirac tak, že má hodnotu 0 všude kromě vstupní hodnoty 0. V tomto okamžiku to představuje hrot, který je nekonečně vysoký. Integrál převzatý přes celou čáru je roven 1. Pokud jste studovali počet, pravděpodobně jste se s tímto jevem setkali dříve. Mějte na paměti, že se jedná o koncept, který se studentům obvykle zavádí po letech vysokoškolského studia teoretické fyziky.

Jinými slovy, výsledky jsou následující pro nejzákladnější funkci delta δ (X), s jednorozměrnou proměnnou X, pro některé náhodné vstupní hodnoty:

• δ(5) = 0
• δ(-20) = 0
• δ(38.4) = 0
• δ(-12.2) = 0
• δ(0.11) = 0
• δ(0) = ∞

Funkci můžete rozšířit vynásobením konstantou. Podle pravidel počtu se násobením konstantní hodnotou také zvýší hodnota integrálu tímto konstantním faktorem. Od integrálu δ (X) napříč všemi reálnými čísly je 1, pak jeho vynásobení konstantou by mělo nový integrál rovný této konstantě. Takže například 27δ (X) má integrál ve všech reálných číslech 27.

Další užitečnou věcí je, že vzhledem k tomu, že funkce má nenulovou hodnotu pouze pro vstup 0, pak pokud se díváte na souřadnicová mřížka, kde váš bod není seřazen přímo na 0, může být reprezentován výrazem uvnitř funkčního vstupu. Takže pokud chcete reprezentovat myšlenku, že částice je v poloze X = 5, pak byste napsali Diracova delta funkci jako δ (x - 5) = ∞ [od δ (5 - 5) = ∞].

Pokud pak chcete použít tuto funkci k reprezentaci řady bodových částic v kvantovém systému, můžete to udělat tak, že spojíte různé dirac delta funkce. Pro konkrétní příklad by funkce s body na x = 5 a x = 8 mohla být reprezentována jako δ (x - 5) + δ (x - 8). Pokud byste pak převzali integrál této funkce ve všech číslech, dostali byste integrál představuje reálná čísla, i když funkce jsou 0 na všech místech kromě dvou, kde jsou jsou body. Tento koncept lze poté rozšířit tak, aby představoval prostor se dvěma nebo třemi rozměry (namísto jednorozměrného případu, který jsem použil ve svých příkladech).

Toto je sice stručný úvod do velmi složitého tématu. Klíčovou věcí, o které je třeba si uvědomit, je to, že funkce delta Dirac v podstatě existuje pouze proto, aby integrace funkce dávala smysl. Pokud nedochází k integrálu, není přítomnost funkce delta Dirac nijak zvlášť užitečná. Ale ve fyzice, když máte co do činění s cestou z oblasti bez částic, které najednou existují pouze v jednom bodě, je to docela užitečné.

Ve své knize z roku 1930 Principy kvantové mechaniky, Anglický teoretický fyzik Paul Dirac rozložil klíčové prvky kvantové mechaniky, včetně notace bra-ket a také jeho Diracova delta funkce. Staly se standardními koncepty v oblasti kvantové mechaniky v rámci EU Schrodingerova rovnice.