Pravděpodobnost válcování tří kostek

Kostky poskytují skvělé ilustrace koncepty v pravděpodobnosti. Nejčastěji používanými kostkami jsou kostky se šesti stranami. Zde uvidíme, jak vypočítat pravděpodobnost pro hodení třemi standardními kostkami. Je to relativně standardní problém spočítat pravděpodobnost částky získané válcování dvěma kostkami. Existuje celkem 36 různých rolí se dvěma kostkami, s libovolnou částkou od 2 do 12 možných.Jak se problém změní, když přidáme další kostky?

Stejně jako má jedna kostka šest výsledků a dvě kostky mají 6² = 36 výsledků, pravděpodobnostní experiment tříkacích kostek má 6³ = 216 výsledků. Tato myšlenka zobecňuje další kostky. Pokud se hodíme n kostky pak je jich 6ⁿ výsledky.

Můžeme také zvážit možné částky z válcování několika kostkami. Nejmenší možná částka nastane, když jsou všechny kostky nejmenší nebo každá jedna. Toto dává součet tří, když hodíme tři kostky. Největší počet na kostce je šest, což znamená, že největší možný součet nastane, když jsou všechny tři kostky šestky. Součet této situace je 18.

Když n kostky se válí, nejmenší možná částka je n a nejvyšší možná částka je 6n.

• Existuje jeden možný způsob, jak mohou tři kostky celkem 3
• 3 způsoby pro 4
• 6 pro 5
• 10 pro 6
• 15 pro 7
• 21 pro 8
• 25 za 9
• 27 za 10
• 27 za 11
• 25 za 12
• 21 pro 13
• 15 za 14
• 10 za 15
• 6 pro 16
• 3 za 17
• 1 pro 18

Jak bylo uvedeno výše, pro tři kostky možné částky zahrnují každé číslo od tří do 18. Pravděpodobnosti lze vypočítat pomocí strategie počítání a uznáváme, že hledáme způsoby, jak rozdělit číslo na přesně tři celá čísla. Například jediný způsob, jak získat součet tři, je 3 = 1 + 1 + 1. Vzhledem k tomu, že každá kostka je nezávislá na ostatních, lze částku jako čtyři získat třemi různými způsoby:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Další argumenty pro počítání lze použít k nalezení počtu způsobů, jak vytvořit další částky. Rozdíly pro každou částku následují:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Pokud oddíl tvoří tři různá čísla, například 7 = 1 + 2 + 4, jsou 3! (3x2x1) různé způsoby permutující tato čísla. To by se počítalo do tří výsledků v prostoru vzorku. Když dvě různá čísla tvoří oddíl, pak existují tři různé způsoby permutace těchto čísel.

Celkový počet způsobů, jak získat každou částku, vydělíme celkovým počtem výsledků v ukázkový prostornebo 216. Výsledky jsou:

• Pravděpodobnost součtu 3: 1/216 = 0,5%
• Pravděpodobnost součtu 4: 3/216 = 1,4%
• Pravděpodobnost součtu 5: 6/216 = 2,8%
• Pravděpodobnost součtu 6: 10/216 = 4,6%
• Pravděpodobnost součtu 7: 15/216 = 7,0%
• Pravděpodobnost součtu 8: 21/216 = 9,7%
• Pravděpodobnost součtu 9: 25/216 = 11,6%
• Pravděpodobnost součtu 10: 27/216 = 12,5%
• Pravděpodobnost součtu 11: 27/216 = 12,5%
• Pravděpodobnost součtu 12: 25/216 = 11,6%
• Pravděpodobnost součtu 13: 21/216 = 9,7%
• Pravděpodobnost součtu 14: 15/216 = 7,0%
• Pravděpodobnost součtu 15: 10/216 = 4,6%
• Pravděpodobnost součtu 16: 6/216 = 2,8%
• Pravděpodobnost součtu 17: 3/216 = 1,4%
• Pravděpodobnost součtu 18: 1/216 = 0,5%

Jak je vidět, extrémní hodnoty 3 a 18 jsou nejméně pravděpodobné. Nejpravděpodobnější jsou částky, které jsou přesně uprostřed. To odpovídá tomu, co bylo pozorováno při válcování dvou kostek.