Co je distribuce Cauchy

Jedna distribuce náhodné proměnné není důležitá pro její aplikace, ale pro to, co nám říká o našich definicích. Cauchyova distribuce je jedním takovým příkladem, někdy označovaným jako patologický příklad. Důvodem je to, že ačkoli je tato distribuce dobře definovaná a má souvislost s fyzickým jevem, nemá distribuce střední hodnotu ani rozptyl. Tato náhodná proměnná ve skutečnosti nemá a funkce generování momentů.

Distribuci Cauchy definujeme zvážením číselníku, jako je typ stolní hry. Střed tohoto rozvlákňovače bude ukotven na y osa v bodě (0, 1). Po roztočení rozmetače roztažíme úsečku segmentu rozmetače, dokud nepřekročí osu x. Toto bude definováno jako naše náhodná proměnná X.

Nechali jsme w označovat menší z těchto dvou úhlů, které rozmetač dělá s y osa. Předpokládáme, že tento rozmetač bude stejně pravděpodobně tvořit jakýkoli úhel jako druhý, a tak W má rovnoměrné rozložení, které se pohybuje od -π / 2 do π / 2.

Základní trigonometrie nám poskytuje spojení mezi našimi dvěma náhodnými proměnnými:

X = opáleníW.

Kumulativní distribuční funkceXje odvozeno následovně:

H(X) = P(X < X) = P(opáleníW < X) = P(W < arctanX)

Poté použijeme skutečnostW je jednotný, a to nám dává:

H(X) = 0.5 + (arctanX)/π

Abychom získali funkci hustoty pravděpodobnosti, rozlišujeme funkci kumulativní hustoty. Výsledek je h(x) = 1/[π (1 + X²) ]

Co dělá Cauchyovu distribuci zajímavou, je to, že jsme ji definovali pomocí fyzického systému a náhodný číselník, náhodná proměnná s Cauchyho distribucí nemá střední, rozptyl ani momentové generování funkce. Všechny momenty o původu, které se používají k definování těchto parametrů, neexistují.

Začneme tím, že vezmeme v úvahu průměr. Průměr je definován jako očekávaná hodnota naší náhodné proměnné a tedy E [X] = ∫_-∞^∞X /[π (1 + X²)] dX.

Integrujeme se pomocí substituce. Pokud jsme se nastavili u = 1 +X² pak to vidímeu = 2X dX. Po provedení substituce se výsledný nesprávný integrál nekonverguje. To znamená, že očekávaná hodnota neexistuje a že průměr není definován.

Podobně funkce rozptylu a momentu není definována.

Cauchy distribuce je jmenována pro francouzského matematika Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). Přes toto rozdělení bylo jmenováno pro Cauchy, informace týkající se distribuce byly poprvé publikovány jed.