Pravděpodobnost velké rovnice v Yahtzee v jednom svitku

Yahtzee je hra s kostkami, která používá pět standardních šestistranných kostek. V každém kole jsou hráči uděleni tři role, aby získali několik různých cílů. Po každém hodu se hráč může rozhodnout, která z kostek (pokud vůbec) má být ponechána a která musí být znovu prohozena. Cíle zahrnují řadu různých druhů kombinací, z nichž mnohé jsou převzaty z pokeru. Každý jiný druh kombinace stojí za jiný počet bodů.

Jsou volány dva typy kombinací, které musí hráči hodit rovinky: malý rovný a velký rovný. Stejně jako pokerové rovinky se tyto kombinace skládají ze sekvenčních kostek. Malé rovinky používají čtyři z pěti kostek a velké rovinky používají všech pět kostek. Vzhledem k náhodnosti válcování kostkami lze pravděpodobnost použít k analýze, jak je pravděpodobné, že se hodí velká přímka do jednoho válce.

Předpokládáme, že použité kostky jsou spravedlivé a nezávislé na sobě. Existuje tedy jednotný vzorkový prostor sestávající ze všech možných rolí pěti kostek. Přestože Yahtzee umožňuje tři role, pro jednoduchost vezmeme v úvahu pouze případ, že získáme velkou rovnou v jednom válci.

Protože pracujeme s a jednotnýukázkový prostor, výpočet naší pravděpodobnosti se stává výpočtem několika problémů s počítáním. Pravděpodobnost přímky je počet způsobů, jak hodit rovnou, děleno počtem výsledků ve vzorku.

Je velmi snadné spočítat počet výsledků ve vzorku. Válíme pět kostek a každá z těchto kostek může mít jeden ze šesti různých výsledků. Základní použití principu multiplikace nám říká, že vzorkovací prostor má 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 výsledků. Toto číslo bude jmenovatelem všech zlomků, které používáme pro naše pravděpodobnosti.

Dále potřebujeme vědět, kolik způsobů je, jak sehnout velkou přímku. To je obtížnější než výpočet velikosti prostoru vzorku. Důvod, proč je to těžší, je proto, že v tom, jak počítáme, je více jemnost.

Velká přímka se obtížněji valí než malá přímka, ale je snazší spočítat počet způsobů válcování velké přímky, než počet způsobů válcování malé přímky. Tento typ rovnice se skládá z pěti po sobě jdoucích čísel. Protože na kostkách je pouze šest různých čísel, jsou možné pouze dvě velké rovinky: {1, 2, 3, 4, 5} a {2, 3, 4, 5, 6}.

Nyní určíme různý počet způsobů, jak hodit konkrétní sadu kostek, které nám dají rovnou. Pro velké rovné kostky {1, 2, 3, 4, 5} můžeme mít kostky v libovolném pořadí. Takže následující jsou různé způsoby válcování stejným způsobem:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Bylo by únavné vyjmenovat všechny možné způsoby, jak získat 1, 2, 3, 4 a 5. Protože potřebujeme pouze vědět, kolik způsobů, jak toho dosáhnout, můžeme použít některé základní techniky počítání. Bereme na vědomí, že vše, co děláme, je permutující pět kostek. Je jich 5! = 120 způsobů, jak toho dosáhnout. Protože existují dvě kombinace kostek pro vytvoření velké roviny a 120 způsobů, jak hodit každou z nich, existují 2 x 120 = 240 způsobů, jak hodit velkou rovinu.

Nyní je pravděpodobnost převrácení velké roviny jednoduchým výpočtem dělení. Protože existuje 240 způsobů, jak hodit velkou rovnou do jedné role a existuje 7776 rolí po pěti kostky možné, pravděpodobnost, že se hodí velká přímka, je 240/7776, což je blízko 1/32 a 3.1%.

Je samozřejmě pravděpodobné, že první role není rovná. Pokud je tomu tak, máme povoleno dvě další role, které budou mít mnohem větší pravděpodobnost. Pravděpodobnost toho je mnohem komplikovanější určit kvůli všem možným situacím, které by musely být zváženy.