Příklady intervalů spolehlivosti prostředků

Jednou z hlavních částí inferenciální statistiky je vývoj způsobů výpočtu intervaly spolehlivosti. Intervaly spolehlivosti nám poskytují způsob, jak odhadnout populaci parametr. Spíše než říci, že parametr se rovná přesné hodnotě, říkáme, že parametr spadá do rozsahu hodnot. Toto rozmezí hodnot je obvykle odhad, spolu s mírou chyby, kterou přidáme a odečteme z odhadu.

Ke každému intervalu je připojena úroveň důvěry. Úroveň spolehlivosti udává, jak často z dlouhodobého hlediska metoda použitá k získání našeho intervalu spolehlivosti zachycuje skutečný parametr populace.

Je užitečné, když se dozvíte o statistikách, abyste viděli vypracované příklady. Níže se podíváme na několik příkladů intervalů spolehlivosti o průměrném počtu obyvatel. Uvidíme, že metoda, kterou používáme pro konstrukci intervalu spolehlivosti o průměru, závisí na dalších informacích o naší populaci. Konkrétně přístup, který zvolíme, závisí na tom, zda víme populační standardní odchylku nebo ne.

Začneme jednoduchým náhodným vzorkem 25 konkrétních druhů mloků a změříme jejich ocasy. Průměrná délka ocasu našeho vzorku je 5 cm.

1. Pokud víme, že 0,2 cm je standardní odchylka délky ocasu všech mloků v populaci, jaký je 90% interval spolehlivosti pro střední délku ocasu všech mloků v populaci?
2. Pokud víme, že 0,2 cm je standardní odchylka délek ocasu všech mloků v populaci, jaký je 95% interval spolehlivosti pro střední délku ocasu všech mloků v populaci?
3. Zjistíme-li, že 0,2 cm je směrodatná odchylka délky ocasu mloků v našem vzorku populace, pak jaký je 90% interval spolehlivosti pro střední délku ocasu všech mloků v populace?
4. Zjistíme-li, že 0,2 cm je směrodatná odchylka délky ocasu mloků v našem vzorku populace, pak jaký je 95% interval spolehlivosti pro střední délku ocasu všech mloků v populace?

Začneme analýzou každého z těchto problémů. V prvních dvou problémech jsme znát hodnotu směrodatné odchylky populace. Rozdíl mezi těmito dvěma problémy je v tom, že úroveň důvěry je v # 2 větší než v případě # 1.

Ve druhé dva problémy standardní odchylka populace není známa. Pro tyto dva problémy odhadneme tento parametr se vzorkem standardní odchylka. Jak jsme viděli v prvních dvou problémech, máme zde také různé úrovně důvěry.

Vypočítáme řešení pro každý z výše uvedených problémů.

1. Protože víme standardní směrodatnou odchylku populace, použijeme tabulku z-skóre. Hodnota z což odpovídá 90% intervalu spolehlivosti je 1,645. Pomocí vzorec pro rozpětí chyb máme interval spolehlivosti 5 - 1,645 (0,2 / 5) až 5 + 1,645 (0,2 / 5). (5 ve jmenovateli je, protože jsme vzali druhou odmocninu 25). Po provedení aritmetiky máme 4,934 cm až 5,066 cm jako interval spolehlivosti pro průměr populace.
2. Protože víme standardní směrodatnou odchylku populace, použijeme tabulku z-skóre. Hodnota z což odpovídá 95% intervalu spolehlivosti je 1,96. Použitím vzorce pro meze chyby máme interval spolehlivosti 5 - 1,96 (0,2 / 5) až 5 + 1,96 (0,2 / 5). Po provedení aritmetiky máme 4,922 cm až 5,078 cm jako interval spolehlivosti pro průměr populace.
3. Zde neznáme standardní směrodatnou odchylku, pouze standardní směrodatnou odchylku. Použijeme tedy tabulku t-skóre. Když použijeme tabulku t skóre potřebujeme vědět, kolik stupňů svobody máme. V tomto případě existuje 24 stupňů volnosti, což je o méně než velikost vzorku 25. Hodnota t což odpovídá 90% intervalu spolehlivosti je 1,71. Použitím vzorce pro meze chyby máme interval spolehlivosti 5 - 1,71 (0,2 / 5) až 5 + 1,71 (0,2 / 5). Po provedení aritmetiky máme 4,932 cm až 5,068 cm jako interval spolehlivosti pro průměr populace.
4. Zde neznáme standardní směrodatnou odchylku, pouze standardní směrodatnou odchylku. Takže znovu použijeme tabulku t-skóre. Existuje 24 stupňů volnosti, což je o méně než velikost vzorku 25. Hodnota t což odpovídá 95% intervalu spolehlivosti je 2,06. Použitím vzorce pro meze chyby máme interval spolehlivosti 5 - 2,06 (0,2 / 5) až 5 + 2,06 (0,2 / 5). Po provedení aritmetiky máme 4,912 cm až 5,082 cm jako interval spolehlivosti pro průměr populace.

Při porovnávání těchto řešení je třeba poznamenat několik věcí. První je, že v každém případě, když se naše úroveň důvěry zvýšila, tím větší byla hodnota z nebo t se kterým jsme skončili. Důvodem je to, že abychom si byli jistější, že jsme skutečně zachytili průměr populace v našem intervalu spolehlivosti, potřebujeme širší interval.

Druhou vlastností, kterou je třeba poznamenat, je to, že pro určitý interval spolehlivosti jsou ty, které používají t jsou širší než ty s z. Důvodem je to, že t distribuce má větší variabilitu v ocasu než standardní normální distribuce.

Klíčem ke správnému řešení těchto typů problémů je, že pokud známe standardní směrodatnou odchylku populace, použijeme tabulku z-scores. Pokud neznáme směrodatnou odchylku populace, použijeme tabulku t skóre.